Pierwiastki dowolnego stopnia i potęgi

Pierwiastek $n$-tego stopnia z liczby $a$ to liczba, która po podniesieniu do potęgi $n$ daje $a$. Zapisujemy to jako $\sqrt[n]{a}$. Jest to więc działanie odwrotne do potęgowania, ale trzeba uważać na stopień pierwiastka i znak liczby pod pierwiastkiem.

Dla pierwiastka kwadratowego zapis $\sqrt{a}$ oznacza główny, czyli nieujemny pierwiastek. Dlatego $\sqrt{49}=7$, a nie $-7$. To częsta pułapka: z równania $x^2=49$ wynika $x=\pm 7$, ale sam symbol $\sqrt{49}$ oznacza tylko $7$.

W praktyce szkolnej rozpatrujemy pierwiastki w zbiorze liczb rzeczywistych. To oznacza, że nie każde wyrażenie z pierwiastkiem ma sens dla każdej liczby.

Najważniejsza zasada dotyczy parzystości stopnia pierwiastka.

• Jeśli stopień $n$ jest parzysty, to w liczbach rzeczywistych musi zachodzić $a\ge 0$.
• Jeśli stopień $n$ jest nieparzysty, to liczba pod pierwiastkiem może być dowolna rzeczywista.

Przykłady:

• $\sqrt{25}=5$, bo $25\ge 0$.
• $\sqrt[4]{16}=2$.
• $\sqrt[3]{-8}=-2$, bo $(-2)^3=-8$.
• $\sqrt[4]{-16}$ nie jest liczbą rzeczywistą.

Z tej zasady wynika też zachowanie znaku wyniku:

• pierwiastek parzystego stopnia jest zawsze nieujemny,
• pierwiastek nieparzystego stopnia ma taki sam znak jak liczba pod pierwiastkiem.

Pierwiastkowanie można zapisać za pomocą potęgi o wykładniku wymiernym:

• $\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}$
• $\sqrt[n]{a^m}=a^{\frac{m}{n}}$

Ten zapis pokazuje, że pierwiastek i potęga są ze sobą ściśle związane. Dzięki temu łatwiej porównywać wyrażenia i upraszczać rachunki.

Trzeba jednak pamiętać o warunkach. W szczególności przy parzystym stopniu nie wolno zapominać, że liczba pod pierwiastkiem musi być nieujemna. W zadaniach często wykorzystuje się też zależności odwrotne:

• $(\sqrt[n]{a})^n=a$ dla dopuszczalnych wartości,
• $\sqrt[n]{a^n}=a$ dla nieparzystego $n$,
• $\sqrt[n]{a^n}=|a|$ dla parzystego $n$.

Szczególnie ważna jest ostatnia własność. Na maturze bardzo często trzeba zauważyć, że $\sqrt{x^2}=|x|$, a nie po prostu $x$.

Dla dopuszczalnych wartości obowiązują prawa działań podobne do praw działań na potęgach:

• $\sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b}$
• $\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$ dla $b\ne 0$

Własności te pozwalają rozkładać liczby na wygodne czynniki. Na przykład:

• $\sqrt{45}=\sqrt{9\cdot 5}=3\sqrt{5}$
• $\sqrt{\frac{9}{16}}=\frac{3}{4}$

Nie wolno natomiast rozdzielać pierwiastka względem dodawania i odejmowania. Zwykle nieprawdziwe są przekształcenia takie jak:

• $\sqrt{a+b}=\sqrt{a}+\sqrt{b}$
• $\sqrt{a-b}=\sqrt{a}-\sqrt{b}$

To jedna z najczęstszych pomyłek rachunkowych.

Upraszczanie pierwiastków polega często na wyłączaniu spod pierwiastka pełnych potęg odpowiedniego stopnia.

Przykłady:

• $\sqrt{72}=\sqrt{36\cdot 2}=6\sqrt{2}$
• $\sqrt[3]{54}=\sqrt[3]{27\cdot 2}=3\sqrt[3]{2}$

Jeśli mamy wyrażenie algebraiczne, trzeba zachować ostrożność:

• $\sqrt{x^2}=|x|$
• $\sqrt[4]{16x^4}=2|x|$
• $\sqrt[3]{x^3}=x$

Możliwe jest także działanie odwrotne, czyli wkładanie czynnika pod pierwiastek. Dla liczb nieujemnych można stosować schemat:

• $c\sqrt[n]{a}=\sqrt[n]{c^n a}$

Na przykład:

• $2\sqrt{3}=\sqrt{4\cdot 3}=\sqrt{12}$

Takie przekształcenia pomagają porównywać liczby, upraszczać wyrażenia i przygotowywać ułamki do dalszych obliczeń.

Funkcja przyporządkowująca liczbie jej pierwiastek $n$-tego stopnia jest rosnąca w swoim naturalnym zakresie. Oznacza to, że większej liczbie pod pierwiastkiem odpowiada większy wynik.

Przykłady:

• skoro $7<8$, to $\sqrt[3]{7}<\sqrt[3]{8}$,
• skoro $5<9$, to $\sqrt{5}<\sqrt{9}=3$.

Ta własność jest przydatna w zadaniach z porównywaniem liczb niewymiernych oraz w szacowaniu wartości. Można też korzystać z niej odwrotnie: jeśli porównujemy dwa dodatnie pierwiastki tego samego stopnia, wystarczy porównać liczby pod pierwiastkami.

W wyrażeniach wymiernych dąży się do tego, by w mianowniku nie było pierwiastka. W prostych przypadkach mnoży się licznik i mianownik przez odpowiedni pierwiastek.

Przykłady:

• $\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$
• $\frac{3}{\sqrt{5}}=\frac{3\sqrt{5}}{5}$

Najczęstsze błędy uczniów:

• mylenie $\sqrt{a^2}$ z $a$ zamiast z $|a|$,
• uznawanie, że $\sqrt{a+b}=\sqrt{a}+\sqrt{b}$,
• zapominanie, że pierwiastek parzystego stopnia z liczby ujemnej nie jest rzeczywisty,
• mylenie zapisu $\sqrt{49}$ z rozwiązaniami równania $x^2=49$,
• niewłaściwe rozdzielanie pierwiastka przy odejmowaniu.

W zadaniach maturalnych najważniejsze jest pilnowanie warunków, znaku wyniku oraz poprawne stosowanie własności tylko tam, gdzie rzeczywiście wolno.