Pierwiastek nieparzystego stopnia z liczby ujemnej

Pierwiastek stopnia $n$ z liczby $a$ to taka liczba, która podniesiona do potęgi $n$ daje $a$. Zapisujemy to jako $\sqrt[n]{a}$. Jeśli stopień pierwiastka jest nieparzysty, na przykład $3$, $5$ lub $7$, to pierwiastek z liczby ujemnej istnieje w zbiorze liczb rzeczywistych.

Dzieje się tak dlatego, że liczba ujemna podniesiona do nieparzystej potęgi nadal jest ujemna. Na przykład:

• $(-2)^3=-8$
• $(-3)^5=-243$
• $(-1)^7=-1$

Z tego wynika:

• $\sqrt[3]{-8}=-2$
• $\sqrt[5]{-243}=-3$
• $\sqrt[7]{-1}=-1$

To ważna różnica w porównaniu z pierwiastkiem parzystego stopnia, który dla liczby ujemnej nie daje liczby rzeczywistej.

Przy pierwiastkach nieparzystego stopnia obowiązuje bardzo przydatna własność:

• $\sqrt[n]{-a}=-\sqrt[n]{a}$ dla $a\ge 0$ i nieparzystego $n$

Oznacza to, że jeśli pod pierwiastkiem stoi liczba ujemna, to można potraktować ją jako minus razy liczba dodatnia i „wynieść” minus przed znak pierwiastka. Przykłady:

• $\sqrt[3]{-64}=-\sqrt[3]{64}=-4$
• $\sqrt[5]{-32}=-\sqrt[5]{32}=-2$

Nie wolno jednak bezmyślnie stosować tej zasady do pierwiastków parzystego stopnia. Na przykład zapis $\sqrt{-9}=-\sqrt{9}$ jest błędny w zbiorze liczb rzeczywistych, bo $\sqrt{-9}$ nie jest liczbą rzeczywistą.

Wniosek praktyczny jest prosty: najpierw sprawdź, czy stopień pierwiastka jest nieparzysty. Dopiero wtedy można pracować z liczbą ujemną pod pierwiastkiem.

Pierwiastkowanie i potęgowanie są działaniami odwrotnymi. Dla nieparzystego $n$ zachodzi:

• $\left(\sqrt[n]{a}\right)^n=a$

W zakresie tego tematu szczególnie ważne jest, że działa to również dla liczb ujemnych. Na przykład:

• $\left(\sqrt[3]{-8}\right)^3=-8$
• $\left(\sqrt[5]{-32}\right)^5=-32$

W drugą stronę, jeśli znamy liczbę, której nieparzysta potęga daje liczbę ujemną, możemy od razu wskazać pierwiastek. Dlatego warto rozpoznawać podstawowe potęgi:

• $2^3=8$, więc $\sqrt[3]{-8}=-2$
• $3^3=27$, więc $\sqrt[3]{-27}=-3$
• $2^5=32$, więc $\sqrt[5]{-32}=-2$
• $3^5=243$, więc $\sqrt[5]{-243}=-3$

To częsty typ zadania maturalnego: rozpoznanie znanej potęgi i poprawne uwzględnienie znaku.

W wyrażeniach algebraicznych można korzystać z własności pierwiastków nieparzystego stopnia także wtedy, gdy pod pierwiastkiem występują potęgi. Na przykład:

• $\sqrt[3]{-27x^3}=-3x$
• $\sqrt[5]{-32a^5}=-2a$

Schemat jest taki:

• rozpoznaj liczbę będącą nieparzystą potęgą,
• zauważ znak minus,
• wyciągnij pierwiastek z części liczbowej i literowej.

Trzeba przy tym uważać, aby nie pomylić dwóch różnych zapisów:

• $\sqrt[3]{-27}=-3$
• $-\sqrt[3]{27}=-3$

W tych przykładach wynik jest taki sam, ale sens zapisu jest inny. W pierwszym minus znajduje się pod pierwiastkiem, a w drugim przed całym wyrażeniem.

W zadaniach warto też pamiętać, że pierwiastek nieparzystego stopnia z liczby ujemnej zawsze jest liczbą ujemną.

Najczęstszy błąd polega na przenoszeniu zasad dla pierwiastków nieparzystych na parzyste. Uczeń widzi minus pod pierwiastkiem i próbuje „wyjąć” go na zewnątrz niezależnie od stopnia. To jest poprawne tylko dla stopnia nieparzystego.

Inne częste błędy:

• pominięcie znaku minus, np. uznanie, że $\sqrt[3]{-125}=5$ zamiast $-5$,
• nierozpoznanie znanej potęgi, np. że $243=3^5$,
• mylenie liczby pod pierwiastkiem z wynikiem, np. zapisanie $\left(\sqrt[3]{-8}\right)^3=-2$ zamiast $-8$.

Dobra metoda sprawdzenia wyniku jest bardzo prosta: po obliczeniu pierwiastka podnieś otrzymaną liczbę do odpowiedniej potęgi. Jeśli wracasz do liczby spod pierwiastka, wynik jest poprawny.

W zadaniach o pierwiastku nieparzystego stopnia z liczby ujemnej najlepiej działa krótki schemat.

• Krok 1: sprawdź stopień pierwiastka. Jeśli jest nieparzysty, wynik może być rzeczywisty mimo liczby ujemnej pod pierwiastkiem.
• Krok 2: znajdź dodatnią liczbę, której odpowiednia potęga daje wartość bezwzględną liczby spod pierwiastka.
• Krok 3: nadaj wynikowi znak minus.
• Krok 4: sprawdź przez potęgowanie.

Przykład:

• oblicz $\sqrt[3]{-0{,}008}$
• ponieważ $0{,}2^3=0{,}008$, to $(-0{,}2)^3=-0{,}008$
• zatem $\sqrt[3]{-0{,}008}=-0{,}2$

Ten temat łączy się z prawami działań na potęgach i pierwiastkach oraz z rozumieniem liczb rzeczywistych. Na maturze zwykle sprawdza się tu nie tylko rachunek, ale też poprawne rozumowanie o znaku wyniku.