Twierdzenie sinusów i cosinusów

Twierdzenie sinusów i twierdzenie cosinusów są podstawowymi narzędziami do rozwiązywania trójkątów dowolnych, czyli takich, które nie muszą być prostokątne. W praktyce wybór zależy od danych. Jeśli znamy jedną parę: bok i kąt naprzeciwko tego boku, zwykle wygodne jest twierdzenie sinusów. Jeśli znamy dwa boki i kąt zawarty między nimi, najczęściej wybiera się twierdzenie cosinusów.

Oba twierdzenia pozwalają obliczać brakujące boki i kąty, a więc odtwarzać cały trójkąt. W zadaniach maturalnych często pojawiają się obliczenia w geometrii, w zadaniach tekstowych oraz w zadaniach na pole trójkąta.

W trójkącie stosunek długości boku do sinusa kąta leżącego naprzeciwko tego boku jest stały. Oznacza to, że boki i odpowiadające im kąty tworzą proporcję. Zależność tę zapisuje się w postaci równości trzech ułamków. Dzięki temu, gdy znamy jedną parę bok–kąt naprzeciwko, możemy wyznaczać kolejne elementy trójkąta.

Twierdzenie sinusów jest szczególnie przydatne, gdy w zadaniu pojawia się jeden bok i dwa kąty albo gdy w trójkącie znamy kąt i bok naprzeciwko niego. Najpierw często oblicza się brakujący trzeci kąt, pamiętając, że suma kątów w trójkącie wynosi $180^\circ$.

Twierdzenie cosinusów łączy długości trzech boków trójkąta z cosinusem jednego z kątów. W postaci dla boku $a$ ma ono zapis $a^2=b^2+c^2-2bc\cos\alpha$, gdzie $\alpha$ jest kątem między bokami $b$ i $c$. Analogicznie zapisuje się wzory dla pozostałych boków.

To twierdzenie jest bardzo ważne, bo działa także wtedy, gdy trójkąt nie jest prostokątny. Pozwala obliczyć trzeci bok, gdy znamy dwa boki i kąt między nimi, albo wyznaczyć kąt, gdy znamy wszystkie trzy boki. Jest też uogólnieniem twierdzenia Pitagorasa.

Pole trójkąta można obliczyć nie tylko ze wzoru na połowę iloczynu podstawy i wysokości, ale także z wykorzystaniem sinusa kąta między dwoma bokami. Wzór $P=\frac{1}{2}ab\sin\gamma$ jest bardzo użyteczny, gdy w danych są dwa boki i kąt zawarty między nimi.

Warto pamiętać, że w trójkącie prostokątnym wzory trygonometryczne i twierdzenie cosinusów łączą się z twierdzeniem Pitagorasa. Dzięki temu te same narzędzia działają zarówno w trójkątach prostokątnych, jak i w dowolnych trójkątach.

W zadaniach najpierw trzeba rozpoznać, jakie dane są podane. Jeśli są dwa boki i kąt między nimi, liczymy trzeci bok z twierdzenia cosinusów. Jeśli znamy dwa kąty i bok, albo jedną parę bok–kąt naprzeciwko, przechodzimy do twierdzenia sinusów. Gdy trzeba policzyć pole, sprawdzamy, czy da się użyć wzoru z sinusem.

Ważne jest dokładne oznaczanie boków i kątów. Bok $a$ powinien leżeć naprzeciw kąta $\alpha$, bok $b$ naprzeciw $\beta$, a bok $c$ naprzeciw $\gamma$. Tylko wtedy wzory zapisuje się poprawnie i bez pomyłek.