Objętość i pole brył: graniastosłupy i ostrosłupy

Graniastosłup i ostrosłup to wielościany, czyli bryły ograniczone wielokątami. W zadaniach szkolnych najczęściej obliczamy ich objętość i pole powierzchni całkowitej, dlatego trzeba dobrze rozróżniać podstawę, ściany boczne i wysokość bryły.

Graniastosłup ma dwie przystające i równoległe podstawy. Ściany boczne są równoległobokami, a w graniastosłupie prostym są prostokątami. Wysokość graniastosłupa to odległość między płaszczyznami podstaw.

Ostrosłup ma jedną podstawę i ściany boczne będące trójkątami, które spotykają się w jednym punkcie — wierzchołku ostrosłupa. Wysokość ostrosłupa to odcinek poprowadzony z wierzchołka prostopadle do płaszczyzny podstawy.

Bardzo ważne jest, aby nie mylić wysokości bryły z wysokością ściany bocznej. W ostrosłupach prawidłowych wysokość ściany bocznej nazywa się apotemą i często występuje we wzorach na pole boczne.

Objętość mówi, ile miejsca zajmuje bryła w przestrzeni. W liceum dla graniastosłupów i ostrosłupów korzysta się z dwóch podstawowych wzorów.

Dla graniastosłupa:

• $V=P_p\cdot H$

Dla ostrosłupa:

• $V=\frac{1}{3}P_p\cdot H$

W obu wzorach $P_p$ oznacza pole podstawy, a $H$ wysokość bryły. Jedyna różnica polega na współczynniku $\frac{1}{3}$ przy ostrosłupie. To częste miejsce pomyłek.

Aby poprawnie obliczyć objętość, zwykle najpierw trzeba znaleźć pole podstawy. Jeśli podstawą jest prostokąt, używamy wzoru $P=ab$. Jeśli jest to trójkąt, można użyć wzoru $P=\frac{1}{2}ah$ albo $P=\frac{1}{2}ab\sin\gamma$. Gdy podstawą jest kwadrat, pole wynosi $a^2$.

W zadaniach praktycznych często najtrudniejsze jest nie samo podstawienie do wzoru, ale wcześniejsze wyznaczenie brakującej wysokości lub pola podstawy z wykorzystaniem twierdzenia Pitagorasa albo zależności w figurach płaskich.

Pole powierzchni całkowitej to suma pól wszystkich ścian bryły. Najwygodniej liczyć je po rozpoznaniu, jakie figury tworzą ściany boczne oraz ile jest podstaw.

Dla graniastosłupa:

• $P_c=P_b+2P_p$

Dla ostrosłupa:

• $P_c=P_b+P_p$

W graniastosłupie prostym pole boczne można liczyć bardzo wygodnie ze wzoru:

• $P_b=obwód\ podstawy\cdot H$

Dzieje się tak dlatego, że po rozwinięciu ścian bocznych otrzymujemy prostokąt, którego jeden bok jest wysokością bryły, a drugi — obwodem podstawy.

W ostrosłupie nie ma jednego uniwersalnego prostego wzoru na pole boczne dla każdej sytuacji. Zwykle liczy się pola poszczególnych trójkątów bocznych i sumuje. W ostrosłupie prawidłowym, gdy wszystkie ściany boczne są jednakowe, można obliczyć pole jednej ściany i pomnożyć przez ich liczbę.

Przy obliczaniu pola całkowitego trzeba uważać, by nie zapomnieć o podstawie lub drugiej podstawie oraz by nie dodać dwa razy tych samych ścian.

W szkole często pojawiają się ostrosłupy prawidłowe, na przykład prawidłowy ostrosłup czworokątny. Taka bryła ma w podstawie wielokąt foremny, a rzut wysokości pada w środek podstawy. Dzięki symetrii ściany boczne są przystającymi trójkątami równoramiennymi.

W takich zadaniach ważna jest apotema, czyli wysokość ściany bocznej. Jeśli podstawa jest kwadratem o boku $a$, to pole jednej ściany bocznej wynosi:

• $P=\frac{1}{2}a\cdot l$

Tu $l$ oznacza apotemę. Pole boczne jest wtedy sumą pól wszystkich ścian bocznych. Dla ostrosłupa czworokątnego prawidłowego będą to cztery jednakowe trójkąty.

Aby znaleźć apotemę lub wysokość bryły, często korzysta się z twierdzenia Pitagorasa w odpowiednio dobranym trójkącie prostokątnym. Trzeba wtedy poprawnie rozpoznać, które odcinki są promieniem wpisanym w podstawę, połową boku podstawy, wysokością bryły albo wysokością ściany bocznej.

W zadaniach maturalnych warto działać według stałego schematu:

• rozpoznaj rodzaj bryły,
• zaznacz podstawę i wysokość bryły,
• ustal, jakie figury tworzą ściany boczne,
• oblicz potrzebne pola lub długości pomocnicze,
• dopiero na końcu podstaw do wzoru na objętość lub pole całkowite.

Jeżeli w danych występuje przekątna ściany bocznej graniastosłupa prostego, zwykle tworzy ona z wysokością bryły i krawędzią podstawy trójkąt prostokątny. Wtedy stosujemy twierdzenie Pitagorasa.

Jeżeli w zadaniu podane są pola i trzeba porównać bryły, pamiętaj o zależnościach ze wzorów. Na przykład podwojenie wysokości graniastosłupa przy stałym polu podstawy powoduje podwojenie objętości. Podobnie w ostrosłupie objętość jest proporcjonalna do pola podstawy i wysokości, ale cały czas obowiązuje czynnik $\frac{1}{3}$.

Częsty błąd to liczenie pola bocznego zamiast całkowitego albo użycie wzoru na objętość graniastosłupa do ostrosłupa. Warto też sprawdzać jednostki: pole wyrażamy w jednostkach kwadratowych, a objętość w sześciennych.

Na tym etapie nauki warto mieć opanowane najważniejsze zależności:

• graniastosłup: $V=P_p\cdot H$
• ostrosłup: $V=\frac{1}{3}P_p\cdot H$
• graniastosłup: $P_c=P_b+2P_p$
• ostrosłup: $P_c=P_b+P_p$
• graniastosłup prosty: $P_b=obwód\ podstawy\cdot H$
• trójkąt: $P=\frac{1}{2}ah$
• trójkąt: $P=\frac{1}{2}ab\sin\gamma$
• prostokąt: $P=ab$
• kwadrat: $P=a^2$

Same wzory jednak nie wystarczą. Trzeba jeszcze umieć odczytać rysunek, rozpoznać wysokość bryły i dobrać odpowiednią figurę płaską do obliczeń pomocniczych. To właśnie decyduje o poprawnym rozwiązaniu większości zadań.