Odczytywanie własności funkcji z wykresu

Wykres funkcji to zbiór punktów o współrzędnych $(x,f(x))$. Dzięki niemu można analizować funkcję nawet wtedy, gdy nie znamy jej wzoru. W liceum najczęściej odczytujemy z wykresu podstawowe własności: dziedzinę, zbiór wartości, miejsca zerowe, wartość funkcji dla danego argumentu, przedziały monotoniczności oraz wartości największą i najmniejszą na danym przedziale.

Najważniejsza zasada jest taka, że argument odczytujemy z osi poziomej, a wartość funkcji z osi pionowej. Jeśli punkt należy do wykresu, to jego współrzędne mają postać $(x,f(x))$. Na przykład punkt $(2,-1)$ oznacza, że $f(2)=-1$.

Dziedzina funkcji to zbiór tych wszystkich argumentów $x$, dla których na wykresie istnieją punkty funkcji. Odczytujemy ją więc, patrząc, dla jakich wartości na osi $x$ wykres jest narysowany.

Zbiór wartości funkcji to wszystkie liczby $y$, które funkcja przyjmuje. Odczytujemy go z osi pionowej, sprawdzając, jakie wysokości osiąga wykres.

Wartość funkcji w punkcie odczytujemy w dwóch krokach:

• zaznaczamy dany argument $x$ na osi poziomej,
• sprawdzamy, na jakiej wysokości znajduje się punkt wykresu.

Jeżeli wykres przechodzi przez punkt $(0,3)$, to znaczy, że $f(0)=3$. Trzeba uważać, by nie zamieniać ról współrzędnych: argument to nie to samo co wartość funkcji.

Miejsca zerowe funkcji to takie argumenty, dla których $f(x)=0$. Na wykresie odpowiadają im punkty przecięcia z osią $Ox$. Jeżeli wykres przecina oś poziomą w punktach o argumentach $-1$ i $4$, to miejsca zerowe funkcji to właśnie $-1$ i $4$.

Warto odróżniać miejsce zerowe od punktu przecięcia z osią $Oy$. Przecięcie z osią $Oy$ występuje dla $x=0$, więc pokazuje wartość $f(0)$, a nie miejsce zerowe, chyba że jednocześnie ten punkt leży też na osi $Ox$.

Na wykresie można też rozpoznawać punkty szczególne, takie jak lokalne „szczyty” i „doliny”. Są one ważne przy opisie zachowania funkcji na poszczególnych fragmentach dziedziny.

Monotoniczność opisuje, jak zachowuje się funkcja, gdy argument rośnie.

• Funkcja jest rosnąca w przedziale, gdy wraz ze wzrostem $x$ rosną wartości $f(x)$.
• Funkcja jest malejąca w przedziale, gdy wraz ze wzrostem $x$ wartości $f(x)$ maleją.
• Funkcja jest stała w przedziale, gdy dla różnych argumentów przyjmuje tę samą wartość.

Na wykresie rozpoznajemy to intuicyjnie, poruszając się od lewej do prawej:

• jeśli wykres idzie ku górze, funkcja rośnie,
• jeśli opada, funkcja maleje,
• jeśli jest poziomy, funkcja jest stała.

Przedziały monotoniczności zapisujemy zwykle jako przedziały liczbowe, na przykład funkcja rośnie dla $x\in[1,4]$, a maleje dla $x\in[-2,1]$.

Wartość największa funkcji na danym przedziale to najwyższa wartość $y$, jaką funkcja rzeczywiście przyjmuje na tym przedziale. Wartość najmniejsza to odpowiednio najniższa osiągana wartość $y$. Na przedziale domkniętym można je zwykle odczytać z wykresu, porównując wysokości wszystkich punktów należących do rozpatrywanego fragmentu.

Trzeba odróżniać ekstrema globalne od lokalnych. Maksimum lokalne to taki punkt, w którego pobliżu funkcja nie przyjmuje wartości większych. Minimum lokalne oznacza, że w pobliżu danego punktu funkcja nie przyjmuje wartości mniejszych. Lokalny „szczyt” nie musi być najwyższym punktem całego wykresu, a lokalna „dolina” nie musi być najniższa w całej dziedzinie.

W zadaniach maturalnych często trzeba wskazać, czy funkcja ma wartość największą lub najmniejszą tylko na pewnym przedziale, a nie w całej dziedzinie.

Przy analizie wykresu warto zachować stałą kolejność działań:

• sprawdzić, dla jakich $x$ wykres istnieje,
• odczytać przecięcia z osią $Ox$ i osią $Oy$,
• ustalić, gdzie funkcja rośnie, maleje lub jest stała,
• znaleźć najwyższe i najniższe punkty na podanym przedziale,
• zwrócić uwagę na punkty końcowe przedziału, bo tam także może wystąpić wartość największa lub najmniejsza.

Częsty błąd polega na myleniu argumentu z wartością funkcji albo na odczytywaniu miejsc zerowych z osi $Oy$. Innym błędem jest uznawanie każdego lokalnego maksimum za największą wartość funkcji w całej dziedzinie.

Warto też pamiętać, że wykres funkcji nie może zawierać pionowego odcinka. Taki odcinek oznaczałby, że jednemu argumentowi odpowiada więcej niż jedna wartość, a to przeczy definicji funkcji.