Prawdopodobieństwo w modelu klasycznym

Model klasyczny prawdopodobieństwa stosujemy wtedy, gdy wszystkie wyniki doświadczenia losowego są jednakowo możliwe. To bardzo ważny warunek: bez niego nie wolno używać prostego wzoru na prawdopodobieństwo. Typowe przykłady szkolne to rzut uczciwą monetą, rzut sześcienną kostką, losowanie jednej karty z dobrze potasowanej talii czy losowanie kuli z urny, jeśli każda kula ma takie samo szanse wylosowania.

Podstawowy wzór ma postać $P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}$. Symbol $\Omega$ oznacza przestrzeń zdarzeń elementarnych, czyli zbiór wszystkich możliwych wyników doświadczenia. Symbol $|\Omega|$ oznacza liczbę elementów tego zbioru, a $|A|$ liczbę wyników sprzyjających zdarzeniu $A$.

W praktyce rozwiązanie zadania najczęściej sprowadza się do dwóch kroków:

• poprawnego wypisania lub policzenia wszystkich możliwych wyników,
• policzenia tych wyników, które spełniają warunek z treści zadania.

Doświadczenie losowe to czynność o wyniku niepewnym, ale wykonywana w ustalonych warunkach. Zdarzenie elementarne to pojedynczy wynik tego doświadczenia, a zdarzenie losowe to dowolny zbiór takich wyników.

Szczególne rodzaje zdarzeń to:

• zdarzenie pewne, które jest równe całej przestrzeni $\Omega$ i ma prawdopodobieństwo $1$,
• zdarzenie niemożliwe, czyli zbiór pusty $\varnothing$, o prawdopodobieństwie $0$,
• zdarzenie przeciwne do $A$, oznaczane przez $\overline{A}$, które zachodzi wtedy, gdy $A$ nie zachodzi.

Zdarzenia mogą być też rozłączne. Oznacza to, że nie mają wspólnych wyników i nie mogą zajść jednocześnie. Dla takich zdarzeń wygodnie działa reguła dodawania: $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$.

W każdym zadaniu warto sprawdzić, czy otrzymany wynik ma sens. Prawdopodobieństwo zawsze należy do przedziału od $0$ do $1$. Jeśli wychodzi liczba ujemna albo większa od $1$, to znaczy, że w rozwiązaniu jest błąd.

W zadaniach często pojawiają się sformułowania słowne, które trzeba przetłumaczyć na działania na zdarzeniach.

• „$A$ lub $B$” oznacza sumę zdarzeń $A\cup B$, czyli zajście co najmniej jednego z nich.
• „$A$ i $B$” oznacza iloczyn zdarzeń $A\cap B$, czyli zajście obu jednocześnie.
• „nie $A$” oznacza zdarzenie przeciwne $\overline{A}$.

Szczególnie użyteczny jest wzór na zdarzenie przeciwne: $P(\overline{A})=1-P(A)$. Na maturze często łatwiej policzyć prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego niż samego zdarzenia. Przykład: zamiast liczyć „co najmniej raz sukces”, często szybciej policzyć „ani razu sukces” i odjąć od $1$.

W prostych zadaniach szkolnych trzeba uważać na słowa „co najmniej”, „dokładnie”, „najwyżej”, „parzysta”, „podzielna przez”. To one decydują, które wyniki są sprzyjające i czy należy je sumować, czy rozpatrywać jako jedno zdarzenie.

Wiele zadań z prawdopodobieństwa nie wymaga trudnych wzorów, tylko poprawnego liczenia możliwości. Jeśli doświadczenie składa się z kolejnych etapów, zwykle używamy reguły mnożenia. Gdy wynik można uzyskać na kilka rozłącznych sposobów, stosujemy regułę dodawania.

Przykład reguły mnożenia: tworzenie liczby dwucyfrowej z cyfr $1$, $2$, $3$ bez powtórzeń. Na pierwsze miejsce są $3$ możliwości, na drugie już tylko $2$, więc łącznie $3\cdot 2=6$ liczb.

Przykład reguły dodawania: jeśli liczba ma być parzysta albo większa od pewnej wartości, czasem wygodnie rozdzielić przypadki, o ile się nie pokrywają.

Ważne rozróżnienie:

• losowanie ze zwracaniem: po każdym losowaniu liczba możliwości pozostaje taka sama,
• losowanie bez zwracania: po każdym losowaniu liczba dostępnych elementów maleje.

To rozróżnienie zmienia liczbę wszystkich wyników, więc wpływa też na końcowe prawdopodobieństwo.

Przy rzucie kostką przestrzeń zdarzeń to $\{1,2,3,4,5,6\}$. Jeśli pytanie dotyczy liczby parzystej, to wynikami sprzyjającymi są $2$, $4$, $6$, więc prawdopodobieństwo wynosi $\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$.

Przy dwóch rzutach monetą można wypisać wyniki uporządkowane: orzeł-orzeł, orzeł-reszka, reszka-orzeł, reszka-reszka. Gdy pytanie brzmi „co najmniej raz orzeł”, można policzyć bezpośrednio $3$ wyniki sprzyjające z $4$, albo użyć dopełnienia: tylko reszka-reszka nie spełnia warunku, więc $1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$.

W zadaniach z urną należy najpierw ustalić liczbę wszystkich kul, a potem liczbę kul o poszukiwanej cesze. W zadaniach z kartami trzeba znać budowę talii, najczęściej $52$ karty, po $13$ w każdym kolorze i $4$ asy.

W zadaniach liczbowych, na przykład przy losowaniu liczby ze zbioru, trzeba dokładnie sprawdzić, które liczby spełniają warunek, np. są parzyste, pierwsze, podzielne przez $3$ lub większe od danej liczby.

Najczęstszy błąd to użycie modelu klasycznego wtedy, gdy wyniki nie są jednakowo prawdopodobne. Drugi częsty błąd to złe policzenie liczby wszystkich wyników, zwłaszcza przy losowaniu bez zwracania lub przy doświadczeniach wieloetapowych.

Uważaj też na to, czy wynik ma znaczenie uporządkowane. Inaczej liczymy parę kolejnych losowań, a inaczej sam zestaw elementów bez uwzględniania kolejności. W prostych zadaniach licealnych zwykle treść jasno wskazuje, czy kolejność ma znaczenie, na przykład przy tworzeniu liczby lub zapisie kolejnych wyników.

Dobre zasady pracy:

• najpierw zapisz, czym jest $\Omega$,
• policz $|\Omega|$,
• wyznacz zdarzenie $A$ i policz $|A|$,
• dopiero na końcu podstaw do wzoru $P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}$,
• sprawdź, czy wynik należy do przedziału $[0,1]$.

Na maturze warto wybierać metodę najkrótszą i najczytelniejszą. Gdy pytanie zawiera zwrot „co najmniej”, często opłaca się użyć zdarzenia przeciwnego. Gdy doświadczenie ma kilka etapów, zwykle najlepiej zacząć od reguły mnożenia.