Równanie prostej w postaci kierunkowej i ogólnej

W geometrii analitycznej prostą na płaszczyźnie można opisywać równaniem. W liceum najczęściej używa się dwóch postaci: kierunkowej i ogólnej. Obie opisują ten sam obiekt, ale każda jest wygodna w innych zadaniach.

Postać kierunkowa ma wzór $y=ax+b$. Pozwala szybko odczytać nachylenie prostej oraz jej przecięcie z osią $Oy$. Jest bardzo wygodna przy szkicowaniu wykresu i badaniu, czy prosta jest rosnąca, malejąca albo pozioma.

Postać ogólna ma wzór $Ax+By+C=0$, gdzie $A$ i $B$ nie są jednocześnie równe $0$. Tę postać często wykorzystuje się przy przekształceniach algebraicznych, zapisie prostych pionowych i przy porównywaniu równań dwóch prostych.

W równaniu $y=ax+b$ liczba $a$ nazywa się współczynnikiem kierunkowym. Określa ona nachylenie prostej do osi $Ox$.

• Jeśli $a>0$, prosta jest rosnąca.
• Jeśli $a<0$, prosta jest malejąca.
• Jeśli $a=0$, prosta jest pozioma i ma równanie $y=b$.

Liczba $b$ to wyraz wolny. Oznacza współrzędną $y$ punktu przecięcia prostej z osią $Oy$, czyli punkt ten ma postać $(0,b)$.

Przykład: dla równania $y=-2x+5$ współczynnik kierunkowy wynosi $-2$, więc prosta jest malejąca, a z osią $Oy$ przecina się w punkcie $(0,5)$.

Jeśli mamy równanie ogólne $Ax+By+C=0$ i $B\neq 0$, to można je przekształcić do postaci kierunkowej, wyznaczając $y$:

$By=-Ax-C$,

$y=-\frac{A}{B}x-\frac{C}{B}$.

Stąd widać, że współczynnik kierunkowy ma wartość $a=-\frac{A}{B}$, a wyraz wolny $b=-\frac{C}{B}$.

Przykład: z równania $2x+y-3=0$ otrzymujemy $y=-2x+3$.

W drugą stronę postępujemy przez przeniesienie wszystkich wyrazów na jedną stronę. Na przykład z $y=4x-1$ dostajemy $4x-y-1=0$.

Trzeba pamiętać, że nie każdą prostą da się zapisać w postaci kierunkowej. Prosta pionowa ma równanie $x=c$ i nie jest wykresem funkcji $y=f(x)$.

Bardzo częste zadanie polega na wyznaczeniu równania prostej na podstawie informacji o niej.

Jeśli znamy współczynnik kierunkowy $a$ i punkt przecięcia z osią $Oy$, od razu zapisujemy równanie w postaci $y=ax+b$.

Jeśli znamy współczynnik kierunkowy i dowolny punkt $(x_0,y_0)$, podstawiamy współrzędne punktu do wzoru $y=ax+b$ i obliczamy $b$.

Jeśli znamy dwa punkty $(x_1,y_1)$ i $(x_2,y_2)$, najpierw liczymy współczynnik kierunkowy:

$a=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$, o ile $x_1\neq x_2$.

Następnie podstawiamy jeden z punktów do równania $y=ax+b$.

Przykład: dla punktów $(1,2)$ i $(3,6)$ mamy

$a=\frac{6-2}{3-1}=2$.

Po podstawieniu punktu $(1,2)$: $2=2\cdot 1+b$, więc $b=0$. Ostatecznie $y=2x$.

W zadaniach maturalnych często porównuje się dwie proste.

Dwie różne proste są równoległe, gdy mają ten sam współczynnik kierunkowy. Na przykład proste $y=3x+1$ i $y=3x-4$ są równoległe, bo obie mają $a=3$.

Dwie proste niepionowe są prostopadłe, gdy ich współczynniki kierunkowe spełniają warunek $a_1\cdot a_2=-1$. Jeśli jedna prosta ma współczynnik $2$, to prosta prostopadła ma współczynnik $-\frac{1}{2}$.

Punkt wspólny dwóch prostych wyznaczamy, rozwiązując układ ich równań. Geometrycznie:

• jedno rozwiązanie oznacza, że proste przecinają się,
• brak rozwiązań oznacza, że proste są równoległe,
• nieskończenie wiele rozwiązań oznacza, że proste się pokrywają.

Z równania prostej można odczytać lub obliczyć kilka ważnych informacji. Punkt przecięcia z osią $Oy$ to $(0,b)$. Miejsce zerowe otrzymujemy po podstawieniu $y=0$. Dla funkcji $y=ax+b$ z $a\neq 0$ dostajemy wtedy $x=-\frac{b}{a}$.

Aby sprawdzić, czy punkt należy do prostej, podstawiamy jego współrzędne do równania. Jeśli po podstawieniu powstaje prawdziwa równość, punkt leży na prostej.

Warto uważać na częste błędy:

• pomylenie współczynnika kierunkowego z wyrazem wolnym,
• zły znak po przenoszeniu wyrazów na drugą stronę równania,
• odwrócenie ułamka przy liczeniu współczynnika kierunkowego z dwóch punktów,
• próba zapisania prostej pionowej $x=c$ w postaci $y=ax+b$.

Dobrze opanowane równanie prostej jest podstawą do dalszych działów, zwłaszcza układów równań i geometrii analitycznej.