Wartość bezwzględna i przedziały liczbowe

Wartość bezwzględna liczby to jej odległość od zera na osi liczbowej. Zapisujemy ją symbolem $|x|$. Ponieważ odległość nie może być ujemna, zawsze zachodzi nierówność $|x|\geq 0$.

Dla liczb dodatnich wartość bezwzględna nie zmienia liczby, a dla ujemnych usuwa znak minus. Algebraicznie zapisujemy to tak:

$$|x|=\begin{cases}x,&\text{gdy }x\geq 0\\-x,&\text{gdy }x<0\end{cases}$$

Przykładowo $|5|=5$, $|-5|=5$, $|0|=0$.

W liceum bardzo ważna jest interpretacja geometryczna: $|x-a|$ oznacza odległość liczby $x$ od liczby $a$. Dzięki temu wiele zadań można rozumieć intuicyjnie, bez mechanicznego zapamiętywania wzorów.

Przedział liczbowy to zbiór liczb opisany za pomocą końców i nawiasów. Nawias okrągły oznacza, że końca nie włączamy do zbioru, a nawias kwadratowy, że dany koniec należy do zbioru.

Najważniejsze typy przedziałów:

• $(a,b)$ — przedział otwarty, czyli $a<x<b$
• $[a,b]$ — przedział domknięty, czyli $a\leq x\leq b$
• $[a,b)$ — przedział półotwarty, czyli $a\leq x<b$
• $(a,b]$ — przedział półotwarty, czyli $a<x\leq b$

Często używa się też półprostych:

• $(-\infty,a)$ — liczby mniejsze od $a$
• $(-\infty,a]$ — liczby mniejsze lub równe $a$
• $(a,\infty)$ — liczby większe od $a$
• $[a,\infty)$ — liczby większe lub równe $a$

Przy symbolach $-\infty$ i $\infty$ zawsze stosujemy nawiasy okrągłe, ponieważ nieskończoność nie jest liczbą rzeczywistą.

Na przedziałach wykonujemy między innymi sumę i część wspólną.

Suma zbiorów to wszystkie liczby należące do co najmniej jednego z nich. Jeśli dwa przedziały nachodzą na siebie, ich suma zwykle tworzy większy przedział. Na przykład suma $[1,4)$ i $(3,6]$ to $[1,6]$.

Część wspólna zbiorów to liczby należące jednocześnie do obu zbiorów. Szukamy więc fragmentu wspólnego. Na przykład część wspólna $(-2,5]$ i $[1,7)$ to $[1,5]$.

W zadaniach warto rysować oba przedziały na osi liczbowej. To pomaga uniknąć błędów przy końcach przedziałów i dobrze dobrać nawiasy.

Równanie $|x|=a$ interpretujemy jako pytanie: które liczby są odległe od zera o $a$? Stąd wynikają trzy przypadki:

• gdy $a>0$, rozwiązania są dwa: $x=-a$ oraz $x=a$
• gdy $a=0$, rozwiązaniem jest tylko $x=0$
• gdy $a<0$, brak rozwiązań

Podobnie dla równania $|x-a|=b$:

• gdy $b\geq 0$, rozwiązaniami są $x=a-b$ oraz $x=a+b$
• gdy $b<0$, równanie nie ma rozwiązań

Przykład: $|x-3|=2$. Szukamy liczb odległych od $3$ o $2$, więc $x=1$ lub $x=5$.

Szczególny przypadek to $|x-a|=0$. Wtedy wyrażenie pod wartością bezwzględną musi być równe zero, więc $x=a$.

W zakresie podstawowym najczęściej spotyka się proste nierówności z wartością bezwzględną, zwłaszcza związane z interpretacją odległości.

Jeśli $a>0$, to:

• $|x|<a$ oznacza liczby bliższe zeru niż $a$, czyli $-a<x<a$
• $|x|\leq a$ oznacza $-a\leq x\leq a$
• $|x|>a$ oznacza liczby dalsze od zera niż $a$, czyli $x<-a$ lub $x>a$
• $|x|\geq a$ oznacza $x\leq -a$ lub $x\geq a$

Warto pamiętać o różnicy między sytuacją „między” a sytuacją „poza”. Znaki $<$ i $\leq$ prowadzą do przedziału środkowego, a znaki $>$ i $\geq$ do dwóch części po bokach osi.

Przykład: $|x|<4$ daje przedział $(-4,4)$, a $|x|\geq 4$ daje $(-\infty,-4]\cup[4,\infty)$.

Najczęstszy błąd to zapominanie, że wartość bezwzględna nie może być ujemna. Jeśli w równaniu pojawia się postać $|\text{wyrażenie}|=-2$, to od razu wiadomo, że nie ma rozwiązań.

Drugi częsty błąd dotyczy nawiasów w przedziałach. Trzeba zawsze sprawdzać, czy końce należą do zbioru. Nierówność ostra, np. $x<3$, daje nawias okrągły, a nieostra, np. $x\leq 3$, nawias kwadratowy.

W zadaniach maturalnych warto:

• tłumaczyć $|x-a|$ jako odległość od liczby $a$
• robić szkic osi liczbowej
• sprawdzać, czy prawa strona równania z wartością bezwzględną jest nieujemna
• po rozwiązaniu zapisać wynik w odpowiedniej postaci: liczby, przedziału albo sumy przedziałów

Dobre opanowanie tych pojęć jest ważne także w dalszych działach, np. przy funkcjach, nierównościach i interpretacji wykresów.