Równanie okręgu w układzie współrzędnych

Okrąg to zbiór wszystkich punktów płaszczyzny jednakowo odległych od jednego ustalonego punktu. Ten punkt nazywamy środkiem okręgu, a stałą odległość od niego promieniem. W geometrii analitycznej okrąg zapisujemy za pomocą współrzędnych punktów na płaszczyźnie.

Jeżeli środek okręgu ma współrzędne $S=(a,b)$, a promień wynosi $r>0$, to równanie okręgu ma postać

$$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$

Jest to podstawowa postać równania okręgu, którą trzeba umieć odczytywać i układać.

Wzór wynika bezpośrednio z odległości dwóch punktów na płaszczyźnie. Jeśli dowolny punkt okręgu oznaczymy przez $P=(x,y)$, to jego odległość od środka $S=(a,b)$ musi być równa promieniowi:

$$SP=r$$

Korzystając ze wzoru na odległość punktów, mamy

$$SP=\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}$$

Po podniesieniu obu stron do kwadratu otrzymujemy

$$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$

To właśnie równanie wszystkich punktów odległych od środka o dokładnie $r$.

Z równania okręgu najczęściej trzeba odczytać jego podstawowe elementy.

• Środek to $S=(a,b)$
• Promień to $r$
• Po prawej stronie zawsze stoi $r^2$, więc promień trzeba czasem obliczyć jako pierwiastek

Przykład:

$$(x-3)^2+(y+2)^2=16$$

Stąd środek to $S=(3,-2)$, ponieważ $y+2=y-(-2)$, a promień wynosi $r=4$, bo $16=4^2$.

Szczególny przypadek to okrąg o środku w początku układu współrzędnych:

$$x^2+y^2=r^2$$

Wtedy środek to $(0,0)$.

Aby zapisać równanie okręgu, wystarczy znać jego środek i promień.

Postępuj według schematu:

• zapisz współrzędne środka $S=(a,b)$
• podstaw je do nawiasów $(x-a)^2$ i $(y-b)^2$
• oblicz $r^2$ i wpisz po prawej stronie

Przykład:

Środek $S=(-2{,}5)$, promień $3$.

Wtedy

$$(x-(-2))^2+(y-5)^2=3^2$$

czyli

$$(x+2)^2+(y-5)^2=9$$

Bardzo ważne jest uważne pilnowanie znaków. Jeśli środek ma współrzędną ujemną, w nawiasie pojawi się plus.

Jeżeli dany jest punkt $P=(x_0,y_0)$, to sprawdzamy jego przynależność do okręgu przez podstawienie współrzędnych punktu do równania.

• jeśli po podstawieniu otrzymamy prawdziwą równość, punkt leży na okręgu
• jeśli lewa strona jest mniejsza od $r^2$, punkt leży wewnątrz okręgu
• jeśli lewa strona jest większa od $r^2$, punkt leży na zewnątrz okręgu

Przykład dla okręgu $x^2+y^2=25$:

• punkt $(3,4)$ spełnia równanie, bo $3^2+4^2=25$, więc leży na okręgu
• punkt $(1,2)$ daje $1+4=5<25$, więc leży wewnątrz
• punkt $(5,2)$ daje $25+4=29>25$, więc leży na zewnątrz

W zadaniach maturalnych z tego tematu najczęściej pojawiają się polecenia:

• odczytaj środek i promień z podanego równania
• zapisz równanie okręgu o danym środku i promieniu
• sprawdź, czy punkt należy do okręgu
• wyznacz promień, gdy znany jest środek i punkt leżący na okręgu

Jeśli okrąg przechodzi przez punkt $P=(x_0,y_0)$, a środek to $S=(a,b)$, to promień obliczamy ze wzoru na odległość:

$$r=\sqrt{(x_0-a)^2+(y_0-b)^2}$$

Następnie zapisujemy równanie w postaci

$$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$

Przykład:

Środek $S=(1,-1)$, punkt okręgu $P=(4,3)$.

Wtedy

$$r^2=(4-1)^2+(3-(-1))^2=3^2+4^2=25$$

Zatem równanie okręgu to

$$(x-1)^2+(y+1)^2=25$$

Najwięcej pomyłek wynika nie z trudnych obliczeń, lecz z pośpiechu.

• Błędne odczytanie środka: z równania $(x+4)^2$ odczytujemy współrzędną $-4$, nie $4$
• Mylenie $r$ z $r^2$: jeśli po prawej stronie jest $36$, to promień wynosi $6$
• Zapominanie, że promień musi być dodatni
• Uznawanie liczby ujemnej po prawej stronie za możliwy przypadek okręgu

Jeśli równanie ma postać $(x-a)^2+(y-b)^2=c$, to opisuje okrąg tylko wtedy, gdy $c>0$. Gdy $c<0$, nie istnieją punkty spełniające takie równanie, bo suma kwadratów nie może być ujemna.