Równanie okręgu w układzie współrzędnych

Okrąg to zbiór wszystkich punktów płaszczyzny jednakowo odległych od jednego ustalonego punktu. Ten punkt nazywamy środkiem okręgu, a stałą odległość od niego promieniem. W geometrii analitycznej okrąg zapisujemy za pomocą współrzędnych punktów na płaszczyźnie.

Jeżeli środek okręgu ma współrzędne $$S=(a,b)$$, a promień wynosi $$r>0$$, to równanie okręgu ma postać

$$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$

Jest to podstawowa postać równania okręgu, którą trzeba umieć odczytywać i układać.

Wzór wynika bezpośrednio z odległości dwóch punktów na płaszczyźnie. Jeśli dowolny punkt okręgu oznaczymy przez $$P=(x,y)$$, to jego odległość od środka $$S=(a,b)$$ musi być równa promieniowi:

$$SP=r$$

Korzystając ze wzoru na odległość punktów, mamy

$$SP=\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}$$

Po podniesieniu obu stron do kwadratu otrzymujemy

$$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$

To właśnie równanie wszystkich punktów odległych od środka o dokładnie $$r$$.

Z równania okręgu najczęściej trzeba odczytać jego podstawowe elementy.

• Środek to $$S=(a,b)$$
• Promień to $$r$$
• Po prawej stronie zawsze stoi $$r^2$$, więc promień trzeba czasem obliczyć jako pierwiastek

Przykład:

$$(x-3)^2+(y+2)^2=16$$

Stąd środek to $$S=(3,-2)$$, ponieważ $$y+2=y-(-2)$$, a promień wynosi $$r=4$$, bo $$16=4^2$$.

Szczególny przypadek to okrąg o środku w początku układu współrzędnych:

$$x^2+y^2=r^2$$

Wtedy środek to $$(0,0)$$.

Aby zapisać równanie okręgu, wystarczy znać jego środek i promień.

Postępuj według schematu:

• zapisz współrzędne środka $$S=(a,b)$$
• podstaw je do nawiasów $$(x-a)^2$$ i $$(y-b)^2$$
• oblicz $$r^2$$ i wpisz po prawej stronie

Przykład:

Środek $$S=(-2,5)$$, promień $$3$$.

Wtedy

$$(x-(-2))^2+(y-5)^2=3^2$$

czyli

$$(x+2)^2+(y-5)^2=9$$

Bardzo ważne jest uważne pilnowanie znaków. Jeśli środek ma współrzędną ujemną, w nawiasie pojawi się plus.

Jeżeli dany jest punkt $$P=(x_0,y_0)$$, to sprawdzamy jego przynależność do okręgu przez podstawienie współrzędnych punktu do równania.

• jeśli po podstawieniu otrzymamy prawdziwą równość, punkt leży na okręgu
• jeśli lewa strona jest mniejsza od $$r^2$$, punkt leży wewnątrz okręgu
• jeśli lewa strona jest większa od $$r^2$$, punkt leży na zewnątrz okręgu

Przykład dla okręgu $$x^2+y^2=25$$:

• punkt $$(3,4)$$ spełnia równanie, bo $$3^2+4^2=25$$, więc leży na okręgu
• punkt $$(1,2)$$ daje $$1+4=5<25$$, więc leży wewnątrz
• punkt $$(5,2)$$ daje $$25+4=29>25$$, więc leży na zewnątrz

W zadaniach maturalnych z tego tematu najczęściej pojawiają się polecenia:

• odczytaj środek i promień z podanego równania
• zapisz równanie okręgu o danym środku i promieniu
• sprawdź, czy punkt należy do okręgu
• wyznacz promień, gdy znany jest środek i punkt leżący na okręgu

Jeśli okrąg przechodzi przez punkt $$P=(x_0,y_0)$$, a środek to $$S=(a,b)$$, to promień obliczamy ze wzoru na odległość:

$$r=\sqrt{(x_0-a)^2+(y_0-b)^2}$$

Następnie zapisujemy równanie w postaci

$$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$

Przykład:

Środek $$S=(1,-1)$$, punkt okręgu $$P=(4,3)$$.

Wtedy

$$r^2=(4-1)^2+(3-(-1))^2=3^2+4^2=25$$

Zatem równanie okręgu to

$$(x-1)^2+(y+1)^2=25$$

Najwięcej pomyłek wynika nie z trudnych obliczeń, lecz z pośpiechu.

• Błędne odczytanie środka: z równania $$(x+4)^2$$ odczytujemy współrzędną $$-4$$, nie $$4$$
• Mylenie $$r$$ z $$r^2$$: jeśli po prawej stronie jest $$36$$, to promień wynosi $$6$$
• Zapominanie, że promień musi być dodatni
• Uznawanie liczby ujemnej po prawej stronie za możliwy przypadek okręgu

Jeśli równanie ma postać $$(x-a)^2+(y-b)^2=c$$, to opisuje okrąg tylko wtedy, gdy $$c>0$$. Gdy $$c<0$$, nie istnieją punkty spełniające takie równanie, bo suma kwadratów nie może być ujemna.