Pole trójkąta ze wzoru $P=\frac{1}{2}ab\sin\gamma$

Wzór na pole trójkąta z sinusem ma postać $P=\frac{1}{2}ab\sin\gamma$. Stosujemy go wtedy, gdy znamy długości dwóch boków oraz miarę kąta zawartego między nimi. Jest to bardzo ważny wzór w liceum, bo pozwala obliczać pole bez wyznaczania wysokości wprost.

W symbolach $a$ i $b$ oznaczają długości dwóch boków, a $\gamma$ jest kątem leżącym dokładnie między nimi. To istotne: nie można wstawić dowolnego kąta trójkąta, tylko ten, który odpowiada obu podstawianym bokom.

Wzór ten ma też postacie równoważne:

• $P=\frac{1}{2}ab\sin\gamma$
• $P=\frac{1}{2}bc\sin\alpha$
• $P=\frac{1}{2}ac\sin\beta$

Za każdym razem obowiązuje ta sama zasada: bierzemy dwa boki i sinus kąta między nimi.

Podstawowy wzór na pole trójkąta to $P=\frac{1}{2}\cdot podstawa\cdot wysokość$. Wzór z sinusem jest jego przekształceniem.

Jeśli za podstawę przyjmiemy bok $a$, a drugi znany bok to $b$, to wysokość opuszczona na bok $a$ może być wyrażona jako $h=b\sin\gamma$. Wynika to z zależności trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym, który powstaje po opuszczeniu wysokości.

Po podstawieniu do wzoru na pole dostajemy:

• $P=\frac{1}{2}ah$
• $P=\frac{1}{2}a\cdot b\sin\gamma$
• czyli $P=\frac{1}{2}ab\sin\gamma$

Dzięki temu sinus pełni tu rolę „narzędzia do wyznaczenia wysokości” z długości boku i kąta.

Aby dobrze użyć wzoru, trzeba sprawdzić trzy rzeczy.

• Czy znamy dwa boki trójkąta.
• Czy znamy kąt zawarty między tymi bokami.
• Czy podstawiamy dane w tych samych jednostkach długości.

Jeśli boki są podane w centymetrach, to wynik pola otrzymamy w $\text{cm}^2$. Jeśli w metrach, to w $\text{m}^2$.

W zadaniach bardzo częsty błąd polega na użyciu niewłaściwego kąta. Jeśli na przykład znamy boki $a$ i $b$, to do wzoru trzeba wziąć kąt między nimi, a nie kąt naprzeciw jednego z tych boków.

Trzeba też pamiętać o czynniku $\frac{1}{2}$. Jego pominięcie daje wynik dwa razy za duży.

Jeżeli kąt między bokami ma miarę $90^\circ$, to wzór z sinusem staje się bardzo prosty, ponieważ $\sin 90^\circ=1$.

Wtedy:

• $P=\frac{1}{2}ab\sin 90^\circ$
• $P=\frac{1}{2}ab$

Otrzymujemy więc znany wzór na pole trójkąta prostokątnego: połowa iloczynu przyprostokątnych. To pokazuje, że wzór z sinusem jest uogólnieniem zwykłego wzoru używanego dla trójkąta prostokątnego.

Warto też zauważyć, że im większa wartość $\sin\gamma$, tym większe pole przy tych samych bokach $a$ i $b$. Największą wartość sinus osiąga dla kąta prostego, więc przy ustalonych dwóch bokach największe pole ma trójkąt, w którym te boki są prostopadłe.

W zadaniach maturalnych najczęściej trzeba:

• obliczyć pole po podstawieniu danych,
• wyznaczyć brakujący sinus kąta,
• porównać pola różnych trójkątów,
• połączyć wzór z sinusem z innymi zależnościami trygonometrycznymi.

Przykład podstawienia:

Jeśli $a=6$, $b=8$ i $\gamma=30^\circ$, to

$P=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 8\cdot \sin 30^\circ=24\cdot \frac{1}{2}=12$.

Przykład wyznaczania sinusa:

Jeśli $P=20$, $a=8$, $b=5$, to

$20=\frac{1}{2}\cdot 8\cdot 5\cdot \sin\gamma$,

czyli $20=20\sin\gamma$, więc $\sin\gamma=1$.

W takich zadaniach ważna jest dokładność rachunkowa i dobra interpretacja danych z rysunku.

Najczęstszy błąd to podstawienie kąta, który nie jest zawarty między użytymi bokami. Zawsze trzeba spojrzeć, czy dany kąt rzeczywiście leży między tymi dwoma odcinkami.

Drugi częsty błąd to pominięcie czynnika $\frac{1}{2}$. Warto po obliczeniu szybko sprawdzić, czy wynik nie jest podejrzanie duży.

Trzeci problem to mylenie sinusa z cosinusem. We wzorze na pole trójkąta występuje sinus, ponieważ wiąże się on z wysokością opuszczoną na bok.

Warto też pamiętać, że pole nie może być ujemne. Jeśli korzystamy z kątów trójkąta od $0^\circ$ do $180^\circ$, to sinus w takim zakresie dla kątów wewnętrznych trójkąta jest dodatni, więc wynik pola jest dodatni.

Dobra strategia na sprawdzianie lub maturze:

• zapisz wzór,
• podpisz, które boki i który kąt podstawiasz,
• wykonaj obliczenia etapami,
• dopisz jednostkę pola.