Procent składany: lokaty, kredyty i zyski

Procent składany to sposób naliczania odsetek, w którym kapitał rośnie nie tylko dzięki początkowej wpłacie, ale także dzięki wcześniej dopisanym odsetkom. Po każdym okresie kapitalizacji odsetki zwiększają kapitał, więc w następnym okresie oprocentowana jest już większa kwota.

To odróżnia procent składany od procentu prostego. W procencie prostym odsetki liczy się stale od tej samej kwoty początkowej, a w procencie składanym podstawa obliczeń zmienia się po każdym okresie.

W praktyce procent składany pojawia się przede wszystkim w zadaniach o lokatach, oszczędzaniu, wzroście wartości kapitału, ale także przy kredytach, gdy analizujemy wzrost zadłużenia lub całkowity koszt pożyczki.

Najważniejszy wzór ma postać:

• $K_n=K_0(1+r)^n$

gdzie:

• $K_0$ — kapitał początkowy,
• $K_n$ — kapitał po $n$ okresach,
• $r$ — stopa procentowa w jednym okresie zapisana dziesiętnie,
• $n$ — liczba okresów kapitalizacji.

Jeśli oprocentowanie wynosi $5\%$, to do wzoru wpisujemy $r=0{,}05$. Wtedy czynnik wzrostu to $1+r=1{,}05$. Oznacza to, że po każdym okresie kapitał mnożymy przez $1{,}05$.

Przykład: dla $2000$ zł przy oprocentowaniu $6\%$ rocznie przez $3$ lata otrzymujemy:

• $K_3=2000\cdot 1{,}06^3$

Po obliczeniu kapitału końcowego warto pamiętać, że sam zysk nie jest równy $K_n$, lecz:

• $zysk=K_n-K_0$

W zadaniach trzeba więc uważnie odróżniać „ile będzie na koncie” od „ile wynosi zarobek”.

Bardzo ważna jest zgodność stopy procentowej z liczbą okresów. Jeśli oprocentowanie nominalne podano w skali roku, a kapitalizacja jest częstsza, trzeba wyznaczyć stopę dla jednego okresu.

Najczęstsze przypadki:

• kapitalizacja roczna: stopa na okres to roczna stopa procentowa, a liczba okresów równa się liczbie lat,
• kapitalizacja półroczna: roczną stopę dzielimy przez $2$, a liczbę lat mnożymy przez $2$,
• kapitalizacja kwartalna: roczną stopę dzielimy przez $4$, a liczbę lat mnożymy przez $4$,
• kapitalizacja miesięczna: roczną stopę dzielimy przez $12$, a liczbę lat mnożymy przez $12$.

Przykład: lokata na $2$ lata, oprocentowanie $8\%$ rocznie, kapitalizacja kwartalna.

• stopa na kwartał: $0{,}08:4=0{,}02$
• liczba okresów: $2\cdot 4=8$
• wzór: $K=K_0\cdot 1{,}02^8$

Wniosek praktyczny jest prosty: przy tym samym oprocentowaniu nominalnym częstsza kapitalizacja zwykle daje większy kapitał końcowy, bo odsetki są szybciej dopisywane do kapitału.

W zadaniach o lokatach najczęściej oblicza się jedną z czterech wielkości: kapitał końcowy, zysk, czas trwania lokaty albo oprocentowanie.

Gdy znamy kapitał początkowy, stopę i czas, stosujemy bezpośrednio wzór na procent składany. Jeśli pytanie dotyczy zysku, po obliczeniu kapitału końcowego odejmujemy kapitał początkowy.

Typowy przykład:

• wpłacono $5000$ zł na $2$ lata przy oprocentowaniu $6\%$ rocznie,
• $K_2=5000\cdot 1{,}06^2=5618$,
• zysk wynosi $5618-5000=618$ zł.

W zadaniach porównawczych trzeba ustalić, która oferta jest korzystniejsza. Nie wystarczy patrzeć tylko na oprocentowanie zapisane w reklamie. Trzeba jeszcze sprawdzić kapitalizację. Lokata z takim samym oprocentowaniem nominalnym, ale z kapitalizacją kwartalną lub miesięczną, zwykle daje większy zysk niż lokata z kapitalizacją roczną.

W praktyce szkolnej często pomija się podatek od zysków kapitałowych i dodatkowe opłaty, jeśli nie zostały podane w treści zadania.

Procent składany nie dotyczy tylko oszczędzania. Ten sam mechanizm pomaga rozumieć kredyty, ponieważ pożyczona kwota jest obciążona odsetkami. Jeśli analizujemy prosty model bez szczegółowego harmonogramu rat, to wzrost zadłużenia można opisać podobnie jak wzrost kapitału na lokacie.

Najważniejsze pojęcia to:

• kapitał — kwota pożyczona od banku,
• odsetki — koszt korzystania z pożyczonych pieniędzy,
• rata — część spłaty regulowana w kolejnych terminach,
• całkowity koszt — suma oddanych pieniędzy ponad pożyczony kapitał.

W prostych zadaniach można spotkać pytania typu: pożyczono $2000$ zł, po roku trzeba oddać $2160$ zł. Wtedy szukamy stopy z równania:

• $2160=2000(1+r)$

Po przekształceniu dostajemy:

• $1+r=1{,}08$
• $r=0{,}08=8\%$

Na poziomie liceum najważniejsze jest rozumienie, że większe oprocentowanie i dłuższy czas spłaty zwiększają koszt kredytu. W zadaniach warto zawsze porównywać sumę oddanych pieniędzy z kwotą pożyczoną.

Najczęstszy błąd to wpisywanie procentu bez zamiany na liczbę dziesiętną. Do wzoru nie podstawiamy $5$, lecz $0{,}05$. Drugi częsty błąd to niezgodność czasu i stopy procentowej, na przykład użycie rocznej stopy razem z liczbą miesięcy.

Warto pamiętać o kilku zasadach:

• wzrost o $p\%$ oznacza mnożenie przez $1+\frac{p}{100}$,
• spadek o $p\%$ oznacza mnożenie przez $1-\frac{p}{100}$,
• zysk to różnica między kwotą końcową a początkową,
• przy częstszej kapitalizacji trzeba zmienić zarówno stopę na okres, jak i liczbę okresów.

W zadaniach maturalnych często trzeba najpierw poprawnie odczytać sytuację, a dopiero potem wykonać rachunki. Dlatego dobrze jest zapisać sobie: jaka jest stopa na jeden okres, ile jest okresów i czego dokładnie szukamy.

Jeśli zadanie mówi o podwojeniu kapitału, to ustawiamy warunek:

• $K_0(1+r)^n=2K_0$

To pozwala szukać czasu albo oprocentowania. Kluczem do sukcesu jest nie tylko znajomość wzoru, ale też rozumienie, co oznacza każdy jego element.