Średnia, mediana i dominanta danych

Średnia, mediana i dominanta to podstawowe miary opisu danych statystycznych. Pomagają jednym wynikiem scharakteryzować cały zestaw liczb, na przykład oceny w klasie, wyniki sprawdzianu, temperatury albo wzrost uczniów. Każda z tych miar pokazuje coś innego, dlatego w zadaniach trzeba nie tylko umieć je obliczyć, ale też rozumieć ich sens.

W praktyce szkolnej często porównuje się te trzy miary i sprawdza, która najlepiej opisuje dane. Czasem najważniejsza jest wartość przeciętna, czasem środkowa, a czasem najczęściej występująca. Dobór odpowiedniej miary zależy od charakteru zestawu danych.

Średnia arytmetyczna to suma wszystkich danych podzielona przez liczbę tych danych. Jeśli dane to $x_1,x_2,\dots,x_n$, to średnia ma postać $\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}$. Jest to miara bardzo często stosowana, bo dobrze pokazuje przeciętny poziom wyników.

Jeżeli niektóre wartości występują częściej albo mają większe znaczenie, stosujemy średnią ważoną. Wtedy każdą wartość mnożymy przez jej wagę lub częstość i dzielimy przez sumę wag:

$\frac{x_1w_1+x_2w_2+\dots+x_nw_n}{w_1+w_2+\dots+w_n}$.

Średnia ważona pojawia się na przykład przy liczeniu średniej ocen, gdy sprawdzian ma większą wagę niż kartkówka, albo przy danych zapisanych w tabeli częstości. Trzeba uważać, by nie liczyć zwykłej średniej z wartości, jeśli każda z nich występuje inną liczbę razy.

Mediana to wartość środkowa w uporządkowanym zestawie danych. Najpierw trzeba więc zapisać dane rosnąco albo malejąco. Dopiero wtedy można wskazać środek.

Gdy liczba danych jest nieparzysta, mediana to dokładnie jeden środkowy element. Na przykład dla zestawu $1,3,5,7,9$ mediana wynosi $5$. Gdy liczba danych jest parzysta, bierzemy dwie środkowe wartości i obliczamy ich średnią arytmetyczną. Dla zestawu $2,4,6,8$ mediana wynosi $\frac{4+6}{2}=5$.

Mediana dobrze opisuje dane wtedy, gdy w zestawie pojawiają się wartości skrajne. Nie zależy ona tak mocno od pojedynczego bardzo dużego lub bardzo małego wyniku jak średnia.

Dominanta to wartość, która występuje najczęściej. Aby ją znaleźć, nie trzeba dodawać danych ani porządkować ich tak dokładnie jak przy medianie, ale trzeba policzyć częstości występowania poszczególnych wartości.

Zestaw może mieć:

• jedną dominantę, gdy jedna wartość występuje najczęściej,
• kilka dominant, gdy kilka wartości ma tę samą największą częstość,
• brak dominanty, gdy wszystkie wartości występują tyle samo razy.

Dominanta jest szczególnie użyteczna wtedy, gdy chcemy wiedzieć, jaki wynik pojawia się najczęściej, na przykład jaki rozmiar buta dominuje w klasie albo jaka ocena została postawiona najwięcej razy.

Średnia arytmetyczna uwzględnia wszystkie wyniki, więc daje pełny obraz przeciętnego poziomu, ale jest wrażliwa na wartości odstające. Jeśli wśród zwykłych wyników pojawi się jedna bardzo duża liczba, średnia może wyraźnie wzrosnąć.

Mediana jest bardziej odporna na takie skrajne wartości. Dlatego bywa lepsza przy opisie zarobków, cen lub innych danych, gdzie pojedyncze wyniki są wyjątkowo duże albo małe.

Dominanta pokazuje, co zdarza się najczęściej, ale nie zawsze dobrze opisuje cały zestaw. Na przykład może istnieć kilka dominant albo żadna. Dlatego w zadaniach trzeba umieć wskazać, która miara daje najbardziej sensowną informację o danych.

W liceum często spotyka się dane zapisane w tabeli: wartości i odpowiadające im częstości. Wtedy:

• średnią liczymy jako średnią ważoną,
• dominantę wskazujemy jako wartość o największej częstości,
• medianę wyznaczamy, analizując pozycję środkową w całym uporządkowanym zestawie.

Przy medianie z tabeli nie trzeba zwykle wypisywać wszystkich danych, ale trzeba ustalić, który element jest środkowy. Jeśli liczba wszystkich danych wynosi $n$, to dla nieparzystego $n$ szukamy elementu na pozycji środkowej, a dla parzystego — dwóch środkowych pozycji.

W zadaniach maturalnych często pojawiają się polecenia typu: oblicz średnią, wyznacz medianę, podaj dominantę, porównaj średnią z medianą albo oceń wpływ dopisania jednego wyniku na wartość średniej.

Najczęstsze błędy przy tym temacie wynikają z pośpiechu.

• Przy medianie uczniowie zapominają uporządkować dane.
• Przy parzystej liczbie danych wskazują jedną z dwóch środkowych wartości zamiast policzyć ich średnią.
• Przy dominancie mylą „najczęstszą wartość” z „największą wartością”.
• Przy danych z tabeli liczą zwykłą średnią z różnych wartości, nie uwzględniając ich częstości.

Warto też pamiętać, że wynik średniej nie zawsze musi należeć do zbioru danych. Na przykład dla liczb $2,4,6,8$ średnia wynosi $5$, choć taka wartość nie występuje w zestawie. Mediana przy parzystej liczbie danych również może nie być jednym z elementów zestawu.