Trójkąty prostokątne i trygonometria

Rozwiązać trójkąt prostokątny to wyznaczyć wszystkie jego boki i kąty na podstawie części danych. W trójkącie prostokątnym jeden kąt ma zawsze $90^\circ$, więc do ustalenia pozostają dwa kąty ostre i trzy boki.

Najważniejsze jest poprawne rozpoznanie boków względem wybranego kąta ostrego.

• przeciwprostokątna leży naprzeciw kąta prostego
• przyprostokątna przyległa leży przy rozważanym kącie ostrym
• przyprostokątna naprzeciw leży naprzeciw rozważanego kąta ostrego

W praktyce szkolnej najczęściej korzysta się z twierdzenia Pitagorasa oraz z definicji sinusa, cosinusa i tangensa kąta ostrego. Umiejętność doboru właściwej zależności jest ważniejsza niż samo liczenie.

Dla kąta ostrego $\alpha$ w trójkącie prostokątnym obowiązują definicje:

• $\sin \alpha=\frac{\text{przyprostokątna naprzeciw }\alpha}{\text{przeciwprostokątna}}$
• $\cos \alpha=\frac{\text{przyprostokątna przyległa do }\alpha}{\text{przeciwprostokątna}}$
• $\tg \alpha=\frac{\text{przyprostokątna naprzeciw }\alpha}{\text{przyprostokątna przyległa do }\alpha}$

Trzeba pamiętać także o wzorach:

• $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$
• $\tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$
• jeśli jeden kąt ostry ma miarę $\alpha$, to drugi ma miarę $90^\circ-\alpha$

Warto znać wartości szczególne:

• $\sin 30^\circ=\frac{1}{2}$, $\cos 30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}$
• $\sin 45^\circ=\cos 45^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2}$
• $\sin 60^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\cos 60^\circ=\frac{1}{2}$
• $\tg 45^\circ=1$, $\tg 30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{3}$, $\tg 60^\circ=\sqrt{3}$

Te wartości bardzo często pojawiają się w zadaniach maturalnych i pozwalają uniknąć używania kalkulatora.

Jeżeli przyprostokątne mają długości $a$ i $b$, a przeciwprostokątna ma długość $c$, to zachodzi wzór:

• $a^2+b^2=c^2$

Twierdzenie Pitagorasa stosujemy wtedy, gdy znamy dwa boki i chcemy obliczyć trzeci. Trygonometrię stosujemy wtedy, gdy w zadaniu występuje kąt ostry i zależność między bokami.

Często najwygodniej połączyć oba narzędzia. Na przykład z definicji sinusa można wyznaczyć jeden bok, a potem z twierdzenia Pitagorasa obliczyć kolejny. Innym razem znamy dwa boki, więc najpierw liczymy trzeci bok z Pitagorasa, a następnie określamy wartość funkcji trygonometrycznej wybranego kąta.

W zadaniach trzeba uważać, czy dany bok jest naprzeciw kąta, czy do niego przylega. Ten sam bok może być „naprzeciw” jednego kąta ostrego, a „przyległy” do drugiego.

Jeśli znamy kąt ostry i przeciwprostokątną, to:

• bok naprzeciw kąta obliczamy z sinusa
• bok przyległy do kąta obliczamy z cosinusa

Jeśli znamy kąt ostry i jedną przyprostokątną, to:

• z sinusa lub cosinusa można obliczyć przeciwprostokątną
• z tangensa można obliczyć drugą przyprostokątną

Jeśli znamy dwie przyprostokątne, to:

• przeciwprostokątną liczymy z twierdzenia Pitagorasa
• tangens odpowiedniego kąta to iloraz tych przyprostokątnych

Jeśli znamy przeciwprostokątną i jedną przyprostokątną, to:

• drugą przyprostokątną liczymy z twierdzenia Pitagorasa
• sinus lub cosinus odpowiedniego kąta to iloraz odpowiednich boków

Przykład: gdy w trójkącie prostokątnym $c=10$ i kąt ostry ma $30^\circ$, to bok naprzeciw tego kąta wynosi $10\cdot \sin 30^\circ=10\cdot\frac{1}{2}=5$. Druga przyprostokątna wynosi $10\cdot \cos 30^\circ=10\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=5\sqrt{3}$.

W zadaniach praktycznych najpierw warto wykonać rysunek i oznaczyć dane. Bardzo często trójkąt prostokątny pojawia się w kontekście drabiny opartej o ścianę, cienia, wysokości budynku, przekątnej prostokąta albo kąta nachylenia.

Dobra kolejność pracy jest zwykle taka:

• narysuj schemat i zaznacz kąt prosty
• nazwij boki względem wybranego kąta ostrego
• zapisz zależność trygonometryczną lub twierdzenie Pitagorasa
• wykonaj obliczenia i sprawdź, czy wynik ma sens

Jeżeli z treści wynika kąt nachylenia do podłoża, to zwykle chodzi o kąt między odcinkiem a poziomem. Jeśli mowa o wysokości obiektu, najczęściej jest ona jedną z przyprostokątnych.

Na maturze ważne jest nie tylko podanie wyniku, ale też poprawny zapis toku rozumowania: wskazanie użytego wzoru i podstawienie danych.

Najwięcej pomyłek wynika z mylenia boków względem kąta. Uczeń często poprawnie zna wzór, ale podstawia do niego niewłaściwe długości. Dlatego zawsze trzeba dopisać sobie, który bok jest naprzeciw kąta, który przyległy, a który jest przeciwprostokątną.

Częsty błąd to także użycie złej funkcji trygonometrycznej. Gdy w danych nie występuje przeciwprostokątna, wygodny bywa tangens. Gdy występuje przeciwprostokątna, zwykle korzysta się z sinusa albo cosinusa.

Inne typowe pomyłki:

• zapomnienie, że suma kątów ostrych wynosi $90^\circ$
• błędne wartości funkcji dla kątów $30^\circ$, $45^\circ$, $60^\circ$
• brak podzielenia przez $2$ przy liczeniu pola trójkąta prostokątnego
• błędne przekształcenie równania, np. przy wyznaczaniu boku z ułamka

Po obliczeniach warto sprawdzić wynik. Przeciwprostokątna musi być najdłuższym bokiem, a wartości sinusa i cosinusa dla kąta ostrego muszą należeć do przedziału $(0,1)$.