÷×

Wzory skróconego mnożenia

Matematyka

Zestaw porządkuje najważniejsze wzory skróconego mnożenia obowiązujące w liceum w zakresie podstawowym: kwadrat sumy, kwadrat różnicy i różnicę kwadratów. Nauczysz się je rozpoznawać, poprawnie stosować w przekształceniach oraz unikać typowych błędów rachunkowych.

10 fiszek16 pytań · 2 etapynotatkaSzkoła średnia

Pobierz test do druku

1.Kwadrat sumy

Wzór: $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ . Oznacza, że po podniesieniu sumy do kwadratu otrzymujemy kwadrat pierwszego składnika, podwojony iloczyn składników oraz kwadrat drugiego składnika.

2.Kwadrat różnicy

Wzór: $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ . Środkowy wyraz jest ujemny, bo pochodzi od iloczynu składników o przeciwnych znakach.

3.Różnica kwadratów

Wzór: $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ . To rozkład na iloczyn dwóch nawiasów: różnicy i sumy tych samych wyrażeń.

4.Wyraz środkowy

W rozwinięciach $(a+b)^2$ i $(a-b)^2$ wyraz środkowy ma postać $2ab$ albo $-2ab$ . To najczęściej popełniany element błędów rachunkowych.

5.Rozwijanie wzoru

Rozwijanie polega na przejściu z postaci z nawiasem, np. $(x+3)^2$ , do sumy wyrazów, np. $x^2+6x+9$ .

6.Zwijanie wzoru

Zwijanie polega na rozpoznaniu, że wyrażenie, np. $x^2-10x+25$ , ma postać wzoru i można je zapisać krócej jako $(x-5)^2$ .

7.Postać iloczynowa

To zapis wyrażenia jako iloczynu czynników, np. $x^2-16=(x-4)(x+4)$ . Różnica kwadratów często służy do przejścia do tej postaci.

8.Jednomian

Wyrażenie algebraiczne będące iloczynem liczby i zmiennych o naturalnych wykładnikach, np. $3x$ albo $-2ab$ . Jednomiany pojawiają się jako składniki we wzorach skróconego mnożenia.

9.Wielomian

Suma jednomianów, np. $x^2+6x+9$ . Po rozwinięciu wzorów skróconego mnożenia zwykle otrzymujemy wielomian.

10.Błąd: brak wyrazu środkowego

Nie wolno zapisywać $(a+b)^2$ jako $a^2+b^2$ . Poprawnie trzeba dodać jeszcze wyraz $2ab$ . Analogicznie dla $(a-b)^2$ trzeba uwzględnić $-2ab$ .

Notatka

1. Na czym polegają wzory skróconego mnożenia

Wzory skróconego mnożenia to gotowe schematy przekształcania wyrażeń algebraicznych. Pozwalają szybko rozwijać nawiasy albo przeciwnie – rozpoznawać, że dany wielomian można zapisać krócej. W liceum na poziomie podstawowym najważniejsze są trzy wzory: kwadrat sumy, kwadrat różnicy oraz różnica kwadratów.

Są one bardzo często używane w przekształceniach algebraicznych, przy upraszczaniu wyrażeń, rozwiązywaniu równań i rozkładaniu wielomianów na czynniki. Trzeba nie tylko znać je na pamięć, ale też rozumieć, kiedy który z nich zastosować.

2. Trzy podstawowe wzory

Najważniejsze wzory to:

$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$

W dwóch pierwszych przypadkach mamy kwadrat całego nawiasu. Wynik składa się z trzech części: kwadratu pierwszego wyrażenia, wyrazu środkowego oraz kwadratu drugiego wyrażenia. Znak wyrazu środkowego zależy od znaku w nawiasie: dla sumy jest dodatni, dla różnicy ujemny.

Trzeci wzór działa odwrotnie niż dwa pierwsze: nie rozwija, ale rozkłada wyrażenie na iloczyn. Jeśli widzisz odejmowanie dwóch kwadratów, warto sprawdzić, czy można zastosować właśnie ten schemat.

3. Jak poprawnie rozwijać wyrażenia

Przy rozwijaniu trzeba bardzo uważać na dwa elementy: współczynnik $2$ przy wyrazie środkowym oraz znaki. Na przykład:

$(x+5)^2=x^2+10x+25$
$(x-4)^2=x^2-8x+16$
$(3a-b)^2=9a^2-6ab+b^2$

W ostatnim przykładzie łatwo popełnić błąd, jeśli zapomni się, że pierwszy składnik to całe $3a$ , więc jego kwadrat to $9a^2$ , a wyraz środkowy to $-23ab=-6ab$ .

Dobrą metodą kontroli jest sprawdzenie, czy wynik ma trzy składniki i czy ostatni z nich jest kwadratem drugiego wyrażenia z nawiasu.

4. Jak rozpoznawać gotowy wzór w wielomianie

Często trzeba zrobić działanie odwrotne, czyli „zwinąć” wielomian do krótszej postaci. Aby wyrażenie było kwadratem sumy lub różnicy, powinno mieć trzy składniki:

pierwszy będący kwadratem,
ostatni będący kwadratem,
środkowy równy podwojonemu iloczynowi pierwiastków z pierwszego i ostatniego składnika.

Przykłady:

$x^2+14x+49=(x+7)^2$
$x^2-12x+36=(x-6)^2$

Jeżeli znak przy środkowym składniku jest dodatni, zwykle otrzymujemy kwadrat sumy. Jeżeli ujemny, kwadrat różnicy.

5. Różnica kwadratów i rozkład na czynniki

Wzór $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ rozpoznajemy wtedy, gdy wyrażenie składa się z dwóch kwadratów połączonych minusem. Nie działa on dla sumy kwadratów.

Przykłady:

$x^2-9=(x-3)(x+3)$
$4x^2-1=(2x-1)(2x+1)$
$9y^2-25=(3y-5)(3y+5)$

Trzeba najpierw zauważyć, co jest kwadratem. W wyrażeniu $4x^2-1$ mamy $(2x)^2-1^2$ , a nie $4x^2-(1x)^2$ zapisane przypadkowo. Rozpoznanie składników jest kluczowe dla poprawnego rozkładu.

6. Typowe błędy i jak ich unikać

Najczęstszy błąd to zapis $(a+b)^2=a^2+b^2$ . To nieprawda, ponieważ brakuje wyrazu $2ab$ . Podobnie błędne jest utożsamianie $(a-b)^2$ z $a^2-b^2$ .

Warto zapamiętać:

kwadrat sumy i kwadrat różnicy dają trzy składniki,
różnica kwadratów daje iloczyn dwóch nawiasów,
znak w środku nawiasu wpływa na znak wyrazu środkowego,
współczynnik przy wyrazie środkowym wynosi zawsze $2$ .

Na sprawdzianach i maturze te wzory pojawiają się zarówno w prostych rachunkach, jak i w bardziej złożonych zadaniach, gdzie są tylko jednym z etapów rozwiązania. Dlatego najlepiej ćwiczyć nie tylko samo podstawianie do wzorów, ale też rozpoznawanie sytuacji, w której należy ich użyć.

Pobierz notatkę (PDF)

Quizy w tym zestawie

16 pytań w 2 etapach — odblokujesz je po dodaniu zestawu