Logarytm: definicja i podstawowe wzory

Logarytm to działanie odwrotne do potęgowania. Jeśli chcemy odpowiedzieć na pytanie, do jakiej potęgi trzeba podnieść liczbę $a$, aby otrzymać liczbę $b$, używamy logarytmu. Zapisujemy to tak:

$\log_a b=c \iff a^c=b$.

Przykład: $\log_2 8=3$, bo $2^3=8$. Podobnie $\log_{10} 1000=3$, bo $10^3=1000$.

W liceum najważniejsze jest rozumienie tej zależności w obie strony. Gdy widzisz zapis logarytmiczny, możesz zamienić go na wykładniczy, a gdy widzisz równanie potęgowe, często możesz odczytać z niego wartość logarytmu.

Wyrażenie $\log_a b$ ma sens tylko wtedy, gdy spełnione są trzy warunki:

• $a>0$
• $a\neq 1$
• $b>0$

Liczba $a$ to podstawa logarytmu. Musi być dodatnia i różna od $1$, ponieważ potęgowanie o takiej podstawie daje jednoznaczne wyniki potrzebne do definicji logarytmu. Liczba $b$ to argument logarytmu i musi być dodatnia.

To bardzo ważne przy zadaniach maturalnych. Zanim zastosujesz wzór lub zaczniesz upraszczać wyrażenie, sprawdź, czy argument logarytmu jest dodatni. Na przykład wyrażenie $\log_3(x-2)$ istnieje tylko dla $x>2$.

Z definicji wynikają dwie bardzo często używane własności:

• $\log_a 1=0$, bo $a^0=1$
• $\log_a a=1$, bo $a^1=a$

Warto też pamiętać o zależności:

• $\log_a(a^x)=x$, jeśli wyrażenie ma sens

Te własności pozwalają szybko obliczać proste logarytmy. Przykładowo $\log_5 1=0$, a $\log_7 7=1$. Jeśli mamy $\log_2(2^6)$, to wynik od razu wynosi $6$.

W praktyce logarytm „odczytuje wykładnik”, ale tylko przy tej samej podstawie.

Jeżeli $x>0$ i $y>0$, to obowiązuje wzór:

$\log_a(xy)=\log_a x+\log_a y$.

To znaczy, że logarytm z mnożenia można rozbić na sumę dwóch logarytmów o tej samej podstawie. Wzór działa tylko dla iloczynu, nie dla sumy.

Przykłady:

• $\log_2(8\cdot 4)=\log_2 8+\log_2 4=3+2=5$
• $\log_3 27+\log_3 3=\log_3(27\cdot 3)=\log_3 81=4$

Bardzo częsty błąd to próba zapisania $\log_a(x+y)=\log_a x+\log_a y$. Taki wzór nie istnieje i nie wolno go używać.

Jeżeli $x>0$ i $y>0$, to zachodzi:

$\log_a\left(\frac{x}{y}\right)=\log_a x-\log_a y$.

Logarytm z dzielenia zamienia się na różnicę logarytmów. Znów podstawa musi być ta sama, a licznik i mianownik muszą być dodatnie.

Przykłady:

• $\log_2\left(\frac{32}{4}\right)=\log_2 32-\log_2 4=5-2=3$
• $\log_5\left(\frac{25}{5}\right)=\log_5 25-\log_5 5=2-1=1$

Ten wzór jest wygodny przy upraszczaniu bardziej złożonych wyrażeń oraz przy zamianie różnicy logarytmów na jeden logarytm.

Jeżeli $x>0$, to dla odpowiedniego wykładnika $r$ mamy:

$\log_a(x^r)=r\log_a x$.

Oznacza to, że wykładnik potęgi można przenieść przed logarytm jako współczynnik. To jedna z najważniejszych własności w rachunkach logarytmicznych.

Przykłady:

• $\log_2(8^2)=2\log_2 8=2\cdot 3=6$
• $\log_3 \sqrt{3}=\log_3\left(3^{\frac{1}{2}}\right)=\frac{1}{2}$
• $\log_5(25^3)=3\log_5 25=3\cdot 2=6$

Dzięki temu wzorowi można też obsługiwać pierwiastki, ponieważ pierwiastek zapisujemy jako potęgę ułamkową, na przykład $\sqrt[n]{x}=x^{\frac{1}{n}}$.

W zadaniach szkolnych najczęściej trzeba:

• obliczyć konkretny logarytm z definicji
• sprawdzić, dla jakich wartości zmiennej logarytm istnieje
• uprościć wyrażenie z użyciem wzorów na iloczyn, iloraz i potęgę

Dobra kolejność pracy jest taka:

• sprawdź warunki istnienia logarytmu
• rozpoznaj, czy masz iloczyn, iloraz czy potęgę
• zastosuj odpowiedni wzór
• na końcu oblicz wartość, jeśli to możliwe

Przykład: uprość $\log_2\left(\frac{8\cdot 4}{2}\right)$.

Najpierw można użyć wzorów:

$\log_2 8+\log_2 4-\log_2 2=3+2-1=4$.

Można też najpierw policzyć wyrażenie pod logarytmem: $\frac{8\cdot 4}{2}=16$, więc wynik to $\log_2 16=4$.

W obu sposobach otrzymujemy ten sam wynik, jeśli rachunki są poprawne.