Potęgi o wykładniku wymiernym

1.Potęga o wykładniku wymiernym

Zapis $a^{\frac{m}{n}}$ oznacza, przy odpowiednich warunkach, pierwiastek $n$-tego stopnia z $a^m$. Dla dodatniego $a$ i naturalnych $m,n$ mamy $a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}$. To sposób zapisu pierwiastków w postaci potęgowej.

2.Pierwiastek jako potęga

Dla dodatniej liczby $a$ i naturalnego $n$ można pisać $\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}$. Dzięki temu pierwiastki da się liczyć tymi samymi prawami co potęgi.

3.Wykładnik ułamkowy

Wykładnik postaci $\frac{m}{n}$ oznacza najpierw pierwiastek $n$-tego stopnia, a potem potęgę $m$-tą. Równoważnie można też podnieść do $m$ i dopiero wyciągnąć pierwiastek, jeśli warunki na znak są spełnione.

4.Warunek dodatniości podstawy

W szkole najczęściej przyjmuje się, że wzory na potęgi o wykładniku wymiernym stosuje się dla dodatniej podstawy. Pozwala to uniknąć problemów z parzystym pierwiastkiem z liczby ujemnej i zachować jednoznaczność zapisu.

5.Potęga zerowa

Dla każdej liczby różnej od zera zachodzi $a^0=1$. To ważne także przy rachunkach z wykładnikami wymiernymi, bo pomaga sprowadzać wyrażenia do prostszej postaci.

6.Potęga o wykładniku ujemnym

Dla $a\neq 0$ mamy $a^{-m}=\frac{1}{a^m}$. Ta zasada działa również przy wykładnikach wymiernych, np. $a^{-\frac12}=\frac{1}{\sqrt{a}}$ dla $a>0$.

7.Iloczyn potęg o tej samej podstawie

Dla tej samej podstawy dodajemy wykładniki: $a^x\cdot a^y=a^{x+y}$. Dotyczy też wykładników wymiernych, o ile działania są poprawnie określone.

8.Iloraz potęg o tej samej podstawie

Dla $a\neq 0$ odejmujemy wykładniki: $\frac{a^x}{a^y}=a^{x-y}$. To bardzo użyteczne przy upraszczaniu wyrażeń z ułamkami i pierwiastkami.

9.Potęga potęgi

Zasada $\left(a^x\right)^y=a^{xy}$ działa także dla wykładników wymiernych. Pozwala zamieniać zagnieżdżone potęgi na jeden zapis.

10.Potęga iloczynu

Dla dodatnich lub odpowiednio określonych czynników można stosować $\left(ab\right)^x=a^x b^x$. W praktyce pomaga rozdzielać wspólny wykładnik na kilka czynników.

11.Potęga ilorazu

Dla $b\neq 0$ zachodzi $\left(\frac{a}{b}\right)^x=\frac{a^x}{b^x}$. Zasada ta jest wygodna przy upraszczaniu ułamków potęgowych i wyrażeń z pierwiastkami.

12.Sprowadzanie do wspólnego wykładnika

Czasem warto zapisać liczby w postaci potęg o tym samym wykładniku, aby porównać je lub uprościć działania. Na przykład $8^{\frac13}=2$ i $27^{\frac13}=3$.

13.Dziedzina wyrażenia z potęgą wymierną

Przy parzystym mianowniku wykładnika trzeba uważać na znak podstawy, bo pierwiastek parzystego stopnia z liczby ujemnej nie jest liczbą rzeczywistą. W zadaniach szkolnych najczęściej przyjmuje się podstawę dodatnią, jeśli ma być stosowany wzór potęgowy.

14.Uproszczenie zapisu pierwiastkowego

Potęgi wymierne pozwalają zapisać pierwiastki krócej, np. $\sqrt[3]{a^2}=a^{\frac23}$. Taki zapis ułatwia stosowanie praw działań na potęgach.

15.Porównywanie potęg o wykładnikach wymiernych

Jeśli potęgi mają tę samą podstawę większą od 1, większy wykładnik daje większą wartość. Gdy wspólna podstawa jest między 0 a 1, zależność się odwraca. To przydatne przy porównywaniu bez obliczania dokładnych wartości.