Funkcja liniowa w liceum

Funkcja liniowa to funkcja opisana wzorem $f(x)=ax+b$, gdzie $a$ i $b$ są liczbami rzeczywistymi. Jej wykresem jest prosta w układzie współrzędnych. Jest to jeden z najważniejszych typów funkcji w liceum, bo pojawia się zarówno w zadaniach rachunkowych, jak i w interpretacji wykresów.

We wzorze występują dwa kluczowe współczynniki. Liczba $a$ nazywa się współczynnikiem kierunkowym, a liczba $b$ wyrazem wolnym. To właśnie interpretacja tych dwóch liczb pozwala szybko odczytać własności funkcji i narysować jej wykres.

Współczynnik kierunkowy $a$ określa nachylenie prostej. Informuje, jak zmienia się wartość funkcji, gdy argument wzrośnie o $1$.

• jeśli $a>0$, funkcja jest rosnąca
• jeśli $a<0$, funkcja jest malejąca
• jeśli $a=0$, funkcja jest stała

Im większa wartość bezwzględna współczynnika $a$, tym prosta jest bardziej stroma.

Wyraz wolny $b$ to wartość funkcji dla argumentu $0$, czyli $f(0)=b$. Oznacza to, że wykres przecina oś $OY$ w punkcie $(0,b)$. Dzięki temu już z samego wzoru można wskazać jeden punkt należący do wykresu.

Miejscem zerowym funkcji liniowej nazywamy taką liczbę $x$, dla której $f(x)=0$. Dla funkcji $f(x)=ax+b$ wyznaczamy je z równania $ax+b=0$. Jeśli $a\neq 0$, to

$$x=-\frac{b}{a}$$

To właśnie w tym punkcie wykres przecina oś $OX$.

Dla funkcji liniowej dziedziną jest zwykle zbiór wszystkich liczb rzeczywistych. Zbiór wartości także jest zbiorem wszystkich liczb rzeczywistych, o ile $a\neq 0$. Gdy $a=0$, funkcja jest stała i przyjmuje tylko jedną wartość.

W zadaniach maturalnych często trzeba połączyć kilka informacji naraz, na przykład: rozpoznać, czy funkcja rośnie, odczytać punkt przecięcia z osią $OY$ oraz obliczyć miejsce zerowe.

Najczęściej korzysta się z postaci $y=ax+b$ i podstawia dane z treści zadania.

Jeśli znamy współczynnik kierunkowy $a$ i jeden punkt $(x_0,y_0)$, to podstawiamy:

$$y_0=ax_0+b$$\ni obliczamy $b$.

Jeśli znamy dwa punkty $(x_1,y_1)$ i $(x_2,y_2)$, najpierw obliczamy współczynnik kierunkowy:

$$a=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}, \quad x_1\neq x_2$$

Następnie podstawiamy współrzędne jednego z punktów do wzoru $y=ax+b$ i wyznaczamy $b$.

Jeśli znamy miejsce zerowe i punkt przecięcia z osią $OY$, to mamy od razu dwa punkty wykresu: $(x_0,0)$ oraz $(0,b)$. Na ich podstawie można wyznaczyć wzór funkcji.

Z wykresu funkcji liniowej można odczytać bardzo wiele informacji bez wykonywania skomplikowanych obliczeń.

• punkt przecięcia z osią $OY$ daje wyraz wolny $b$
• kierunek nachylenia pokazuje znak współczynnika $a$
• punkt przecięcia z osią $OX$ to miejsce zerowe
• dwa dowolne punkty wykresu pozwalają obliczyć współczynnik kierunkowy

Jeżeli prosta wznosi się z lewej do prawej, funkcja rośnie. Jeżeli opada, funkcja maleje. Jeżeli jest pozioma, funkcja jest stała. Warto też zwracać uwagę, czy wykres przechodzi przez początek układu. Jeśli tak, to $b=0$, więc wzór ma postać $f(x)=ax$.

W liceum często spotyka się zadania typu:

• podaj współczynnik kierunkowy i wyraz wolny na podstawie wzoru
• określ, czy funkcja jest rosnąca, malejąca czy stała
• oblicz miejsce zerowe funkcji
• wyznacz wzór funkcji przechodzącej przez dany punkt lub dwa punkty
• narysuj wykres na podstawie wzoru albo odczytaj wzór z wykresu

Najczęstsze błędy uczniów to mylenie ról współczynników $a$ i $b$, błędne podstawienie punktu do wzoru oraz nieuważne liczenie współczynnika kierunkowego z dwóch punktów. Warto pamiętać, że $a$ jest przy $x$, a $b$ to liczba bez $x$. Dobrą kontrolą wyniku jest sprawdzenie, czy otrzymany wzór rzeczywiście daje współrzędne podanych punktów po podstawieniu.