Nierówności kwadratowe — parabola i zbiór rozwiązań

Nierówność kwadratowa dotyczy trójmianu postaci $f(x)=ax^2+bx+c$, gdzie $a\ne 0$. Rozwiązujemy ją, szukając tych wartości $x$, dla których wyrażenie jest dodatnie, ujemne, nieujemne albo niedodatnie. Typowe postacie to: $ax^2+bx+c>0$, $ax^2+bx+c<0$, $ax^2+bx+c\ge 0$, $ax^2+bx+c\le 0$.

Najwygodniejszą metodą na poziomie liceum jest metoda paraboli. Opiera się ona na interpretacji geometrycznej: trójmian kwadratowy traktujemy jako funkcję, a następnie sprawdzamy, gdzie jej wykres znajduje się nad osią $OX$, pod osią albo na osi. Dzięki temu łatwo przejść od równania kwadratowego do nierówności.

W praktyce rozwiązanie nierówności kwadratowej to najczęściej przedział albo suma dwóch przedziałów. Trzeba więc nie tylko ustalić znak trójmianu, ale też poprawnie zapisać zbiór rozwiązań.

Wykresem funkcji kwadratowej $y=ax^2+bx+c$ jest parabola. To, czy jej ramiona są skierowane w górę czy w dół, zależy wyłącznie od znaku współczynnika $a$.

• Jeśli $a>0$, parabola jest skierowana w górę.
• Jeśli $a<0$, parabola jest skierowana w dół.

Drugim kluczowym elementem są miejsca zerowe, czyli rozwiązania równania $ax^2+bx+c=0$. Są to punkty przecięcia wykresu z osią $OX$. To właśnie one dzielą oś liczbową na części, w których znak trójmianu jest stały.

Liczbę miejsc zerowych ustalamy za pomocą wyróżnika:

• $\Delta=b^2-4ac$
• gdy $\Delta>0$, są dwa różne miejsca zerowe,
• gdy $\Delta=0$, jest jedno miejsce zerowe podwójne,
• gdy $\Delta<0$, nie ma miejsc zerowych rzeczywistych.

Jeżeli są dwa miejsca zerowe $x_1<x_2$, to bardzo ważna jest zasada znaku:

• dla $a>0$ trójmian jest dodatni poza przedziałem $(x_1,x_2)$, a ujemny między pierwiastkami,
• dla $a<0$ jest odwrotnie: dodatni między pierwiastkami, a ujemny poza nimi.

Rozwiązywanie nierówności kwadratowej warto prowadzić według stałego schematu.

• Zapisz trójmian w postaci $f(x)=ax^2+bx+c$.
• Wyznacz współczynnik $a$ i ustal kierunek ramion paraboli.
• Rozwiąż równanie $ax^2+bx+c=0$, czyli znajdź miejsca zerowe.
• Narysuj szkic paraboli albo tabelę znaku.
• Odczytaj, gdzie funkcja spełnia daną nierówność.
• Zapisz wynik w postaci przedziałów.

Trzeba zwracać uwagę na znak nierówności:

• przy $>$ i $<$ miejsca zerowe nie należą do rozwiązania,
• przy $\ge 0$ i $\le 0$ miejsca zerowe należą do rozwiązania.

Przykład: rozwiążmy $x^2-5x+6>0$. Najpierw liczymy miejsca zerowe: $x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$, więc $x_1=2$, $x_2=3$. Ponieważ $a=1>0$, parabola jest skierowana w górę, więc dodatnia poza przedziałem między pierwiastkami. Otrzymujemy $(-\infty,2)\cup(3,\infty)$.

Przypadek z dwoma miejscami zerowymi, czyli $\Delta>0$, jest najczęstszy na sprawdzianach i maturze. Wtedy znak trójmianu zmienia się po przejściu przez każde miejsce zerowe, a rozwiązanie zależy od znaku współczynnika $a$ i od tego, czy nierówność jest ostra czy nieostra.

Przypadek z jednym miejscem zerowym, czyli $\Delta=0$, oznacza, że parabola dotyka osi $OX$. Wtedy trójmian ma postać z kwadratem, na przykład $(x-2)^2$, i nie zmienia znaku. Dla $a>0$ jest zawsze nieujemny, a dla $a<0$ zawsze niedodatni.

Przypadek bez miejsc zerowych, czyli $\Delta<0$, jest bardzo wygodny. Skoro parabola nie przecina osi $OX$, to ma jeden stały znak dla wszystkich $x$.

• Gdy $a>0$, cały wykres leży nad osią $OX$, więc trójmian jest zawsze dodatni.
• Gdy $a<0$, cały wykres leży pod osią $OX$, więc trójmian jest zawsze ujemny.

To pozwala szybko rozpoznawać zadania, w których rozwiązaniem jest $\mathbb{R}$ albo $\varnothing$.

Po odczytaniu, gdzie trójmian spełnia nierówność, trzeba starannie zapisać odpowiedź. Używamy do tego przedziałów.

• Nawiasy okrągłe, na przykład $(1,4)$, oznaczają, że końce nie należą do zbioru.
• Nawiasy kwadratowe, na przykład $[1,4]$, oznaczają, że końce należą do zbioru.
• Symbol $\cup$ oznacza sumę zbiorów, na przykład $(-\infty,2)\cup(5,\infty)$.

Miejsca zerowe włączamy tylko wtedy, gdy nierówność ma znak $\ge$ albo $\le$. To bardzo częsty błąd uczniów: poprawnie wyznaczają przedziały, ale źle dobierają nawiasy.

Warto też pamiętać, że wynik należy podać jako zbiór wszystkich rozwiązań, a nie tylko jako miejsca zerowe. Nierówność kwadratowa zwykle nie ma pojedynczego rozwiązania, lecz cały zakres liczb.

Najczęstszy błąd to utożsamienie rozwiązania nierówności z rozwiązaniem równania. Miejsca zerowe są tylko punktami granicznymi, a nie pełnym wynikiem zadania. Trzeba jeszcze ustalić znak trójmianu na odpowiednich przedziałach.

Drugi częsty błąd to pominięcie znaku współczynnika $a$. Ten sam zestaw miejsc zerowych daje inne rozwiązanie dla paraboli skierowanej w górę i inne dla paraboli skierowanej w dół.

Trzeci błąd dotyczy nawiasów. Przy nierównościach ostrych $>$ i $<$ nie wolno dopisywać miejsc zerowych do odpowiedzi. Przy nierównościach nieostrych $\ge$ i $\le$ trzeba je uwzględnić.

W zadaniach maturalnych dobrze działa szybka kontrola:

• sprawdź znak $a$,
• wyznacz miejsca zerowe,
• zrób szkic paraboli,
• dopiero potem zapisz przedziały.

Jeśli trójmian daje się łatwo rozłożyć na czynniki, jak $(x-1)(x+3)$, warto z tego skorzystać. Gdy rozkład nie jest oczywisty, użyj wyróżnika i wzoru na pierwiastki. Najważniejsze jest jednak poprawne odczytanie, gdzie funkcja jest dodatnia lub ujemna.