Ciąg geometryczny: wzór ogólny i suma wyrazów

Ciąg geometryczny to taki ciąg liczb, w którym każdy wyraz od drugiego otrzymujemy przez pomnożenie wyrazu poprzedniego przez tę samą liczbę. Tę stałą liczbę nazywamy ilorazem ciągu i oznaczamy przez $q$.

Jeżeli ciąg ma pierwszy wyraz $a_1$, to kolejne wyrazy mają postać:

• $a_2=a_1\cdot q$
• $a_3=a_1\cdot q^2$
• $a_4=a_1\cdot q^3$

Zatem cechą rozpoznawczą ciągu geometrycznego jest stały iloraz sąsiednich wyrazów:

• $q=\frac{a_2}{a_1}$
• $q=\frac{a_3}{a_2}$
• ogólnie $q=\frac{a_{n+1}}{a_n}$, jeśli $a_n\neq 0$

Nie wolno mylić ciągu geometrycznego z arytmetycznym. W ciągu arytmetycznym stała jest różnica, a w geometrycznym stały jest iloraz.

Najważniejszy wzór to wzór ogólny, czyli wzór na dowolny wyraz ciągu geometrycznego:

• $a_n=a_1\cdot q^{n-1}$

Ma on bardzo prostą interpretację: aby przejść od pierwszego wyrazu do $n$-tego, trzeba wykonać $n-1$ mnożeń przez $q$.

Przykład:

Jeśli $a_1=2$ i $q=3$, to:

• $a_2=2\cdot 3=6$
• $a_3=2\cdot 3^2=18$
• $a_5=2\cdot 3^4=162$

W zadaniach często trzeba wyznaczyć brakujący wyraz albo iloraz. Wtedy podstawiamy dane do wzoru $a_n=a_1\cdot q^{n-1}$ i rozwiązujemy równanie. Na przykład, gdy $a_4=40$ i $a_1=5$, mamy $40=5q^3$, więc $q^3=8$, a stąd $q=2$.

Warto też pamiętać o zależności między dwoma dowolnymi wyrazami:

• $a_k=a_m\cdot q^{k-m}$

To bywa wygodne, gdy nie znamy od razu pierwszego wyrazu.

Jeżeli chcemy dodać pierwsze $n$ wyrazów ciągu geometrycznego, używamy wzoru:

• $S_n=a_1\cdot \frac{1-q^n}{1-q}$ dla $q\neq 1$

Spotyka się też równoważną postać:

• $S_n=a_1\cdot \frac{q^n-1}{q-1}$ dla $q\neq 1$

Obie formy dają ten sam wynik. Wybieramy tę, która jest wygodniejsza rachunkowo.

Szczególny przypadek to $q=1$. Wtedy ciąg jest stały, więc:

• $a_1=a_2=a_3=\dots$
• $S_n=n\cdot a_1$

Przykład:

Dla ciągu $2,6,18,54,\dots$ mamy $a_1=2$, $q=3$.

Suma czterech początkowych wyrazów wynosi:

• $S_4=2\cdot \frac{1-3^4}{1-3}=2\cdot \frac{1-81}{-2}=80$

Tę samą sumę można sprawdzić zwykłym dodawaniem: $2+6+18+54=80$.

Aby sprawdzić, czy dany ciąg jest geometryczny, porównujemy ilorazy kolejnych wyrazów. Jeśli wszystkie są równe, ciąg jest geometryczny.

Przykład:

• w ciągu $1,2,4,8$ mamy $\frac{2}{1}=2$, $\frac{4}{2}=2$, $\frac{8}{4}=2$, więc jest to ciąg geometryczny o ilorazie $q=2$
• w ciągu $2,5,8,11$ ilorazy nie są stałe, więc nie jest to ciąg geometryczny

Często w zadaniach znamy dwa wyrazy i trzeba znaleźć $q$. Wtedy korzystamy z potęg.

Przykład:

Jeśli $a_2=6$ i $a_5=162$, to:

• $a_5=a_2\cdot q^3$
• $162=6q^3$
• $q^3=27$
• $q=3$

Warto uważać na znak ilorazu. Jeśli $q<0$, kolejne wyrazy zmieniają znak na przemian. Taki ciąg zwykle nie jest monotoniczny, mimo że nadal jest geometryczny.

W ciągu geometrycznym często wykorzystuje się zależności między trzema kolejnymi wyrazami. Jeśli kolejne wyrazy to $a$, $b$, $c$, to zachodzi:

• $b^2=a\cdot c$

To bardzo przydatna własność w zadaniach maturalnych z niewiadomymi.

Przykład:

Jeśli trzy kolejne wyrazy to $x,6,24$, to:

• $6^2=x\cdot 24$
• $36=24x$
• $x=\frac{3}{2}$

Warto też analizować monotoniczność ciągu:

• gdy $a_1>0$ i $q>1$, ciąg rośnie
• gdy $a_1>0$ i $0<q<1$, ciąg maleje
• gdy $q=1$, ciąg jest stały
• gdy $q<0$, wyrazy zmieniają znaki, więc ciąg zazwyczaj nie jest monotoniczny

Te własności pomagają nie tylko liczyć, ale też oceniać, czy otrzymany wynik ma sens.

Na poziomie liceum najczęściej spotyka się kilka rodzajów zadań.

• obliczanie konkretnego wyrazu na podstawie $a_1$ i $q$
• wyznaczanie $a_1$ lub $q$ z podanych wyrazów
• obliczanie sumy $n$ początkowych wyrazów
• sprawdzanie, czy dany ciąg jest geometryczny
• wykorzystywanie własności $b^2=a\cdot c$

W zadaniach tekstowych ciąg geometryczny opisuje sytuacje, w których wielkość zmienia się zawsze przez ten sam mnożnik. Przykładem może być kapitał rosnący co roku o ten sam procent albo liczba bakterii podwajająca się w równych odstępach czasu.

Przy rozwiązywaniu zadań warto trzymać się schematu:

• ustal, co jest pierwszym wyrazem $a_1$
• wyznacz iloraz $q$
• zdecyduj, czy potrzebny jest wzór na $a_n$, czy na $S_n$
• sprawdź szczególny przypadek $q=1$
• na końcu oceń, czy wynik pasuje do treści zadania

Najczęstsze błędy to pomylenie ciągu geometrycznego z arytmetycznym, użycie złej potęgi we wzorze $a_n$ oraz zastosowanie wzoru na sumę bez uwzględnienia warunku $q\neq 1$.