Ciąg arytmetyczny: wzór ogólny i suma

Ciąg arytmetyczny to taki ciąg liczb, w którym każdy kolejny wyraz różni się od poprzedniego o tę samą stałą wartość. Tę stałą nazywamy różnicą ciągu i oznaczamy zwykle przez $r$.

Jeżeli znamy jeden wyraz ciągu i różnicę, możemy wyznaczać kolejne wyrazy przez dodawanie lub odejmowanie tej samej liczby. Zapis rekurencyjny ma postać: $a_{n+1}=a_n+r$.

Przykłady:

• $2, 5, 8, 11, \dots$ ma różnicę $r=3$
• $10, 7, 4, 1, \dots$ ma różnicę $r=-3$
• $6, 6, 6, 6, \dots$ ma różnicę $r=0$

Najważniejszy wzór w tym dziale to wzór ogólny ciągu arytmetycznego:

$$a_n=a_1+(n-1)r$$

Jego sens jest prosty: od pierwszego wyrazu $a_1$ przechodzimy do wyrazu $a_n$, wykonując $n-1$ jednakowych kroków, z których każdy ma długość $r$.

Ten wzór pozwala:

• obliczyć konkretny wyraz, gdy znamy $a_1$, $r$ i $n$
• sprawdzić, czy dana liczba jest wyrazem ciągu
• wyznaczyć numer wyrazu, jeśli znamy jego wartość

Przykład: dla $a_1=4$ i $r=3$ mamy $a_7=4+(7-1)\cdot 3=22$.

Jeżeli różnica jest dodatnia, wyrazy rosną. Gdy różnica jest ujemna, ciąg maleje. Gdy $r=0$, ciąg jest stały.

Suma pierwszych $n$ wyrazów ciągu arytmetycznego jest oznaczana przez $S_n$. Podstawowy wzór to:

$$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$$

Oznacza on, że suma jest równa liczbie wyrazów pomnożonej przez średnią arytmetyczną pierwszego i ostatniego wyrazu.

Po podstawieniu wzoru na $a_n$ dostajemy drugą, bardzo praktyczną postać:

$$S_n=\frac{n}{2}\left(2a_1+(n-1)r\right)$$

Ten wzór stosujemy szczególnie wtedy, gdy nie znamy jeszcze ostatniego wyrazu, ale znamy pierwszy wyraz, różnicę i liczbę wyrazów.

Przykład: dla ciągu $3, 7, 11, 15, 19$ mamy

• $a_1=3$
• $a_5=19$
• $S_5=\frac{5(3+19)}{2}=55$

W ciągu arytmetycznym często wykorzystuje się zależność, że wyraz środkowy jest średnią arytmetyczną wyrazów położonych symetrycznie względem niego.

Dla trzech kolejnych wyrazów $a, b, c$ zachodzi:

$$b=\frac{a+c}{2}$$

Równoważnie można zapisać:

$$2b=a+c$$

To bardzo przydatne w zadaniach, w których nie podano od razu różnicy ciągu. Pozwala szybko ułożyć równanie i znaleźć brakujący wyraz.

Warto też pamiętać, że suma wyrazów równo odległych od początku i końca rozważanego fragmentu ciągu jest taka sama. Na tym opiera się wzór na sumę.

W zadaniach szkolnych i maturalnych najczęściej trzeba:

• rozpoznać, czy dany ciąg jest arytmetyczny
• obliczyć różnicę $r$
• wyznaczyć konkretny wyraz, np. $a_{15}$
• znaleźć liczbę wyrazów, gdy znamy wartość jednego z nich
• obliczyć sumę kilku lub kilkunastu początkowych wyrazów
• ułożyć model z treści zadania, np. liczba miejsc w kolejnych rzędach albo odkładanie stałej kwoty

W zadaniach tekstowych trzeba najpierw ustalić:

• co jest pierwszym wyrazem $a_1$
• jaka jest różnica $r$
• ile wyrazów bierzemy pod uwagę, czyli jakie jest $n$

Dopiero potem dobieramy odpowiedni wzór: na wyraz albo na sumę.

Najczęstszy błąd we wzorze na $n$-ty wyraz to wpisanie $nr$ zamiast $(n-1)r$. Trzeba pamiętać, że od pierwszego wyrazu do $n$-tego są $n-1$ przejścia, a nie $n$.

Drugi częsty błąd pojawia się przy sumie: uczniowie zapominają o dzieleniu przez $2$ we wzorze $S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$.

Warto też uważać na znak różnicy. Jeśli ciąg maleje, to $r$ jest ujemne i trzeba je poprawnie wstawić do wzoru.

Dobrą praktyką jest sprawdzenie wyniku przez wypisanie kilku początkowych wyrazów, zwłaszcza gdy obliczamy niewielkie $n$. To pomaga szybko wychwycić pomyłki rachunkowe.