Równania kwadratowe: wyróżnik i pierwiastki

Równanie kwadratowe to równanie jednej niewiadomej, które można zapisać w postaci $ax^2+bx+c=0$, gdzie $a\neq 0$. Liczby $a$, $b$ i $c$ nazywamy współczynnikami równania. Współczynnik $a$ stoi przy $x^2$, współczynnik $b$ przy $x$, a $c$ jest wyrazem wolnym.

Najważniejsze przed rozpoczęciem obliczeń jest doprowadzenie równania do postaci ogólnej. Trzeba więc przenieść wszystkie wyrazy na jedną stronę, uporządkować je według malejących potęg niewiadomej i dopiero wtedy odczytać współczynniki. To bardzo ważne, bo najczęstsze błędy wynikają nie z samego wzoru, lecz z pomylenia znaków przy $b$ albo $c$.

Do badania liczby rozwiązań równania kwadratowego używamy wyróżnika, zwanego też deltą. Obliczamy go ze wzoru

• $\Delta=b^2-4ac$

Delta informuje, ile pierwiastków rzeczywistych ma równanie.

• jeśli $\Delta>0$, równanie ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste,
• jeśli $\Delta=0$, równanie ma jeden pierwiastek rzeczywisty podwójny,
• jeśli $\Delta<0$, równanie nie ma pierwiastków rzeczywistych.

W praktyce warto najpierw bardzo dokładnie obliczyć $b^2$, a potem iloczyn $4ac$. Gdy któryś ze współczynników jest ujemny, trzeba szczególnie uważać na znaki. Na maturze często punkt traci się właśnie przez błędne obliczenie delty.

Jeżeli $\Delta\geq 0$, pierwiastki równania kwadratowego wyznaczamy ze wzorów

• $x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$
• $x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$

Można też zapamiętać skrócony zapis:

• $x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$

Gdy $\Delta=0$, oba wzory prowadzą do tego samego wyniku, więc otrzymujemy jeden pierwiastek podwójny:

• $x_0=\frac{-b}{2a}$

Jeżeli $\Delta<0$, w zakresie liczb rzeczywistych kończymy rozwiązanie stwierdzeniem, że równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych.

Typowy sposób rozwiązywania równania kwadratowego jest prosty i warto go stosować zawsze w tej samej kolejności.

• Doprowadź równanie do postaci $ax^2+bx+c=0$.
• Odczytaj współczynniki $a$, $b$, $c$.
• Oblicz deltę: $\Delta=b^2-4ac$.
• Oceń liczbę rozwiązań na podstawie znaku delty.
• Jeśli $\Delta\geq 0$, podstaw do wzoru na pierwiastki.
• Zapisz odpowiedź i, jeśli to możliwe, sprawdź wynik przez podstawienie.

Przykład: dla równania $x^2-5x+6=0$ mamy $a=1$, $b=-5$, $c=6$. Stąd $\Delta=25-24=1$. Zatem $x_1=\frac{5-1}{2}=2$ i $x_2=\frac{5+1}{2}=3$.

Nie każde równanie kwadratowe ma dwa rozwiązania. Jeśli delta jest równa zero, otrzymujemy jeden pierwiastek podwójny. Na przykład równanie $x^2-4x+4=0$ ma deltę równą $0$, więc jego rozwiązaniem jest tylko $x=2$.

Jeżeli delta jest ujemna, w zbiorze liczb rzeczywistych nie ma rozwiązań. Dzieje się tak dlatego, że nie można obliczyć pierwiastka kwadratowego z liczby ujemnej w zbiorze liczb rzeczywistych. Przykładem jest równanie $x^2+2x+5=0$, dla którego $\Delta=4-20=-16$.

W zadaniach szkolnych trzeba wyraźnie napisać, czy odpowiedź dotyczy liczb rzeczywistych. Na poziomie podstawowym zwykle właśnie w tym zbiorze rozwiązujemy równania kwadratowe.

Najczęstszy błąd to złe odczytanie współczynników. W równaniu $x^2-7x+10=0$ współczynnik $b$ wynosi $-7$, a nie $7$. Drugi częsty błąd to nieuporządkowanie równania przed rozpoczęciem liczenia. Na przykład z równania $3-2x^2+x=0$ trzeba najpierw zrobić $-2x^2+x+3=0$.

Warto też pamiętać, że zapis odpowiedzi ma znaczenie. Gdy są dwa pierwiastki, podajemy oba. Gdy jest jeden pierwiastek podwójny, zapisujemy jedną liczbę. Gdy rozwiązań rzeczywistych nie ma, trzeba to wyraźnie zaznaczyć.

W zadaniach maturalnych pojawiają się polecenia typu: oblicz deltę, wyznacz liczbę rozwiązań, rozwiąż równanie albo sprawdź, czy dana liczba jest pierwiastkiem. Dobra znajomość schematu i uważność przy znakach zwykle wystarczają, by poprawnie rozwiązać takie zadanie.