Twierdzenie Pitagorasa

Twierdzenie Pitagorasa jest jednym z najważniejszych twierdzeń geometrii. Dotyczy wyłącznie trójkąta prostokątnego, czyli takiego, który ma jeden kąt równy $90^\circ$.

Jeśli przyprostokątne mają długości $a$ i $b$, a przeciwprostokątna ma długość $c$, to zachodzi zależność:

$$a^2+b^2=c^2$$

Sens geometryczny tego wzoru jest następujący: pole kwadratu zbudowanego na jednym boku długości $a$ plus pole kwadratu zbudowanego na drugim boku długości $b$ jest równe polu kwadratu zbudowanego na boku długości $c$.

To twierdzenie pozwala obliczać brakującą długość boku, sprawdzać, czy trójkąt jest prostokątny, oraz rozwiązywać wiele zadań praktycznych z geometrii i układu współrzędnych.

W trójkącie prostokątnym dwa boki tworzące kąt prosty to przyprostokątne. Zwykle oznacza się je literami $a$ i $b$. Bok leżący naprzeciw kąta prostego to przeciwprostokątna i najczęściej oznacza się go przez $c$.

Trzeba pamiętać o dwóch rzeczach:

• twierdzenie Pitagorasa stosujemy tylko wtedy, gdy mamy do czynienia z trójkątem prostokątnym,
• przeciwprostokątna jest zawsze najdłuższym bokiem trójkąta.

Jeżeli pomylimy przeciwprostokątną z przyprostokątną, to podstawimy liczby do wzoru błędnie i wynik będzie niepoprawny. Dlatego przed rozpoczęciem obliczeń warto zaznaczyć na rysunku, gdzie znajduje się kąt prosty.

Gdy znamy obie przyprostokątne, obliczamy przeciwprostokątną:

$$c=\sqrt{a^2+b^2}$$

Gdy znamy przeciwprostokątną i jedną przyprostokątną, wyznaczamy drugą:

$$a=\sqrt{c^2-b^2}$$

lub

$$b=\sqrt{c^2-a^2}$$

Ważna zasada: po dodaniu lub odjęciu kwadratów trzeba jeszcze wyciągnąć pierwiastek, ponieważ najpierw otrzymujemy wartość $c^2$, $a^2$ albo $b^2$, a nie długość boku.

Przykład:

Jeśli $a=6$ i $b=8$, to

$$c=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$$

Jeśli $c=13$ i $a=5$, to

$$b=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12$$

W zadaniach często spotyka się także odwrotność twierdzenia Pitagorasa. Mówi ona, że jeżeli dla boków trójkąta zachodzi równość

$$a^2+b^2=c^2$$

gdzie $c$ jest najdłuższym bokiem, to trójkąt jest prostokątny.

To narzędzie jest bardzo przydatne przy rozpoznawaniu rodzaju trójkąta. Nie musimy znać jego kątów — wystarczy sprawdzić zależność między długościami boków.

Przykład:

Dla boków $7$, $24$, $25$ mamy

$$7^2+24^2=49+576=625=25^2$$

Zatem jest to trójkąt prostokątny.

Jeśli równość nie zachodzi, trójkąt nie jest prostokątny.

Twierdzenie Pitagorasa często wykorzystuje się nie tylko w samym trójkącie, lecz także w innych figurach, w których można zauważyć trójkąt prostokątny.

W kwadracie przekątna dzieli figurę na dwa przystające trójkąty prostokątne. Jeśli bok kwadratu ma długość $a$, to przekątna ma długość:

$$d=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt{2}$$

W prostokącie o bokach $a$ i $b$ przekątna ma długość:

$$d=\sqrt{a^2+b^2}$$

W zadaniach praktycznych twierdzenie Pitagorasa pojawia się przy obliczaniu długości drabiny opartej o ścianę, odległości między punktami, wysokości, przekątnych oraz najkrótszych dróg w figurach.

W układzie współrzędnych twierdzenie Pitagorasa prowadzi do wzoru na odległość dwóch punktów. Jeśli mamy punkty $A(x_1,y_1)$ oraz $B(x_2,y_2)$, to różnica współrzędnych poziomych i pionowych tworzy przyprostokątne trójkąta prostokątnego.

Wzór ma postać:

$$AB=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$$

Przykład:

Dla punktów $A(1,2)$ i $B(4,6)$ otrzymujemy:

$$AB=\sqrt{(4-1)^2+(6-2)^2}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$$

To zastosowanie jest bardzo częste na poziomie szkoły średniej, szczególnie w zadaniach łączących geometrię z algebrą.

Najczęstszy błąd to użycie twierdzenia Pitagorasa w trójkącie, który nie jest prostokątny. Zawsze najpierw sprawdź, czy w zadaniu jest podany kąt $90^\circ$ albo czy można go wykazać.

Inne typowe pomyłki:

• zamiana przeciwprostokątnej z przyprostokątną,
• brak pierwiastka w ostatnim kroku obliczeń,
• odejmowanie lub dodawanie niewłaściwych kwadratów,
• wykonywanie działań na długościach zamiast na ich kwadratach.

Na maturze warto zwracać uwagę na znane trójki pitagorejskie, bo przyspieszają liczenie:

• $3,4,5$
• $5,12,13$
• $8,15,17$
• $7,24,25$

Dobra strategia rozwiązywania zadania jest prosta:

• wykonaj rysunek,
• zaznacz kąt prosty,
• wskaż przeciwprostokątną,
• zapisz odpowiedni wzór,
• podstaw dane i doprowadź wynik do końca.