Wzory skróconego mnożenia: kwadrat sumy i różnicy

1.Kwadrat sumy

Wzór na kwadrat sumy ma postać $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$. Oznacza to, że po podniesieniu sumy do kwadratu otrzymujemy kwadrat pierwszego składnika, podwojony iloczyn składników i kwadrat drugiego składnika.

2.Kwadrat różnicy

Wzór na kwadrat różnicy ma postać $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$. Środkowy wyraz ma znak minus, bo pochodzi od iloczynu składników z przeciwnymi znakami.

3.Wyraz środkowy

W rozwinięciach $(a+b)^2$ i $(a-b)^2$ wyraz środkowy to odpowiednio $2ab$ lub $-2ab$. Powstaje z dodania dwóch jednakowych iloczynów: $ab+ab=2ab$ albo $-ab-ab=-2ab$.

4.Różnica między wzorami

W obu wzorach skrajne wyrazy są takie same: $a^2$ i $b^2$. Różni się tylko znak przy wyrazie środkowym: w $(a+b)^2$ jest plus, a w $(a-b)^2$ minus.

5.Rozwijanie nawiasu

Aby uzasadnić wzór, mnożymy nawias przez nawias: $(a+b)(a+b)=a^2+ab+ab+b^2=a^2+2ab+b^2$. Podobnie $(a-b)(a-b)=a^2-ab-ab+b^2=a^2-2ab+b^2$.

6.Zastosowanie do liczb

Wzory skróconego mnożenia ułatwiają szybkie obliczenia, np. $49^2=(50-1)^2=50^2-2\cdot 50\cdot 1+1^2=2401$. Dzięki temu można liczyć sprawniej bez długiego mnożenia pisemnego.

7.Typowy błąd

Częstym błędem jest zapis $(a+b)^2=a^2+b^2$. To nieprawda, bo brakuje wyrazu środkowego $2ab$. Podobnie $(a-b)^2 \neq a^2-b^2$, bo poprawny wzór zawiera jeszcze $-2ab$.

8.Porządkowanie wyrażeń

Po zastosowaniu wzoru warto zapisać wynik w uporządkowanej postaci, zwykle malejąco względem potęg zmiennej, np. $(x+3)^2=x^2+6x+9$. Ułatwia to dalsze obliczenia i porównywanie wyników.