Ułamki dziesiętne i porównywanie liczb

Ułamek dziesiętny zapisujemy z przecinkiem. Cyfry przed przecinkiem tworzą część całkowitą. Cyfry po przecinku tworzą część dziesiętną.

Każde miejsce po przecinku ma swoją nazwę:

Każde kolejne miejsce w prawo oznacza części dziesięć razy mniejsze.

Ułamek dziesiętny czytamy w dwóch częściach. Najpierw całości, potem część po przecinku z nazwą ostatniego miejsca.

• $5{,}09$ - pięć całych i dziewięć setnych,
• $0{,}3$ - trzy dziesiąte,
• $0{,}014$ - czternaście tysięcznych.

Gdy nie ma całości, przed przecinkiem piszemy $0$.

Ułamek zwykły o mianowniku $10$, $100$ lub $1000$ łatwo zapisać z przecinkiem. Na przykład $\frac{37}{100}=0{,}37$, bo to trzydzieści siedem setnych.

Zero na końcu części dziesiętnej nie zmienia wartości liczby. Zapisy $6{,}4$ i $6{,}40$ oznaczają tę samą liczbę. Cztery dziesiąte to tyle samo co czterdzieści setnych.

Dopisanie zera w środku liczby zmienia jej wartość. W liczbie $6{,}04$ cyfra $4$ stoi na miejscu setnych. Dlatego $6{,}04$ jest mniejsze od $6{,}4$.

Dopisywanie zer na końcu pomaga porównywać liczby. Wtedy obie liczby mają tyle samo cyfr po przecinku.

Liczby naturalne porównujemy w dwóch krokach.

• Liczymy cyfry. Liczba z większą liczbą cyfr jest większa, np. $1\,203>987$.
• Gdy cyfr jest tyle samo, porównujemy cyfry od lewej. Decyduje pierwsza cyfra, która się różni.

Przykład: $5\,361$ i $5\,316$. Tysiące i setki są takie same. W dziesiątkach jest $6$ i $1$, więc $5\,361>5\,316$.

Znaki czytamy tak: $>$ to „większe od”, $<$ to „mniejsze od”, $=$ to „równe”.

Ułamki dziesiętne porównujemy po kolei:

• najpierw części całkowite, np. $11{,}2>9{,}87$, bo $11>9$,
• gdy są równe, porównujemy dziesiąte, potem setne, potem tysięczne.

Przykład: $8{,}6$ i $8{,}53$. Całości są równe. Dziesiątych jest $6$ i $5$, więc $8{,}6>8{,}53$.

Można też dopisać zero: $8{,}60$ i $8{,}53$. Teraz porównujemy $60$ setnych i $53$ setne.

Częsty błąd to myślenie, że liczba z większą liczbą cyfr po przecinku jest większa. Liczba $8{,}53$ ma więcej cyfr, a jest mniejsza.

Porządek rosnący to ustawienie od najmniejszej liczby do największej. Porządek malejący to ustawienie od największej do najmniejszej.

Ustawmy rosnąco liczby $0{,}75$, $0{,}3$, $0{,}5$, $0{,}15$. Po dopisaniu zer mamy $75$, $30$, $50$ i $15$ setnych. Kolejność rosnąca: $0{,}15$, $0{,}3$, $0{,}5$, $0{,}75$.

Na osi liczbowej większa liczba leży bardziej na prawo. Odcinek od $0$ do $1$ można podzielić na dziesięć części. Każda część to jedna dziesiąta.

Zaokrąglając, patrzymy na cyfrę stojącą zaraz za miejscem, do którego zaokrąglamy.

• cyfra $5$, $6$, $7$, $8$ lub $9$ - poprzednią cyfrę zwiększamy o $1$,
• cyfra $0$, $1$, $2$, $3$ lub $4$ - poprzednią cyfrę zostawiamy.

Potem odrzucamy wszystkie cyfry za tym miejscem.

Przykłady:

• $12{,}73$ do jedności: za jednościami stoi $7$, więc wynik to $13$,
• $4{,}32$ do jedności: za jednościami stoi $3$, więc wynik to $4$,
• $3{,}48$ do dziesiątych: za dziesiątymi stoi $8$, więc wynik to $3{,}5$.

Wynik zaokrąglenia zapisujemy ze znakiem $\approx$, np. $12{,}73\approx13$.