Zadania optymalizacyjne z funkcją kwadratową

1.zadanie optymalizacyjne

Zadanie, w którym szukamy największej albo najmniejszej wartości pewnej wielkości przy podanych warunkach. W matematyce szkolnej często sprowadza się je do zbadania funkcji kwadratowej.

2.funkcja kwadratowa

Funkcja postaci $f(x)=ax^2+bx+c$, gdzie $a\neq 0$. Jej wykresem jest parabola. W zadaniach optymalizacyjnych opisuje często pole, koszt, zysk albo długość zależną od jednej zmiennej.

3.parabola

Wykres funkcji kwadratowej. Jeśli $a>0$, ramiona paraboli są skierowane w górę i funkcja ma wartość najmniejszą. Jeśli $a<0$, ramiona są skierowane w dół i funkcja ma wartość największą.

4.wierzchołek paraboli

Punkt wykresu funkcji kwadratowej, w którym funkcja osiąga wartość największą albo najmniejszą. Dla $f(x)=ax^2+bx+c$ ma współrzędną $x_w=-\frac{b}{2a}$.

5.postać kanoniczna

Postać $f(x)=a(x-p)^2+q$. Wierzchołek paraboli ma wtedy współrzędne $(p,q)$. Ta postać najwygodniej pokazuje, jaka jest wartość największa lub najmniejsza funkcji.

6.wartość największa funkcji

Największa wartość przyjmowana przez funkcję w danym zbiorze. Dla funkcji kwadratowej z $a<0$ jest nią wartość w wierzchołku, o ile wierzchołek należy do rozważanej dziedziny. W przedziale domkniętym wartość największa może też wystąpić na końcu przedziału - porównujesz wtedy wartości na końcach i w wierzchołku (jeśli należy do przedziału).

7.wartość najmniejsza funkcji

Najmniejsza wartość przyjmowana przez funkcję w danym zbiorze. Dla funkcji kwadratowej z $a>0$ jest nią wartość w wierzchołku, o ile wierzchołek należy do rozważanej dziedziny. W przedziale domkniętym wartość najmniejsza może też wystąpić na końcu przedziału - porównujesz wtedy wartości na końcach i w wierzchołku (jeśli należy do przedziału).

8.dziedzina w zadaniu tekstowym

Zbiór wartości zmiennej dopuszczalnych w treści zadania. Wynika z warunków geometrycznych lub praktycznych, np. długości muszą być dodatnie. Bez poprawnej dziedziny wynik może nie mieć sensu.

9.model matematyczny

Opis sytuacji z zadania za pomocą zmiennych, zależności i wzorów. W optymalizacji najpierw zapisuje się warunki, potem wyraża szukaną wielkość jako funkcję jednej zmiennej.

10.interpretacja wyniku

Końcowy etap rozwiązania: sprawdzenie, co oznacza obliczona wartość w zadaniu. Trzeba podać nie tylko argument, np. $x=4$, ale także odpowiedź słowną, np. jakie wymiary dają największe pole.