Równanie prostej: postać kierunkowa i ogólna

1.Postać kierunkowa prostej

Równanie prostej w postaci kierunkowej ma wzór $y=ax+b$, gdzie $a$ to współczynnik kierunkowy, a $b$ to wyraz wolny. Ta postać pozwala łatwo odczytać nachylenie prostej i punkt przecięcia z osią $OY$.

2.Współczynnik kierunkowy $a$

Liczba $a$ w równaniu $y=ax+b$ określa nachylenie prostej do osi $OX$. Gdy $a>0$, prosta rośnie, gdy $a<0$, maleje, a gdy $a=0$, jest równoległa do osi $OX$.

3.Wyraz wolny $b$

Liczba $b$ w równaniu $y=ax+b$ to współrzędna $y$ punktu przecięcia prostej z osią $OY$. Oznacza to, że punkt $(0,b)$ należy do tej prostej.

4.Postać ogólna prostej

Równanie prostej w postaci ogólnej ma wzór $Ax+By+C=0$, gdzie $A$ i $B$ nie są jednocześnie równe $0$. Ta postać jest wygodna przy badaniu wzajemnego położenia prostych i przy przekształceniach algebraicznych.

5.Przejście do postaci ogólnej

Aby przejść z postaci kierunkowej $y=ax+b$ do ogólnej, przenosimy wszystkie wyrazy na jedną stronę, na przykład $y=2x-3$ zapisujemy jako $2x-y-3=0$. Równania równoważne mogą różnić się mnożnikiem.

6.Przejście do postaci kierunkowej

Z postaci ogólnej $Ax+By+C=0$ można przejść do kierunkowej, jeśli $B\neq 0$. Wtedy wyznaczamy $y$: $By=-Ax-C$, więc $y=-\frac{A}{B}x-\frac{C}{B}$.

7.Prosta równoległa

Dwie proste w postaci kierunkowej są równoległe, gdy mają ten sam współczynnik kierunkowy, czyli takie samo $a$. Jeśli dodatkowo mają różne wyrazy wolne, to są różne i się nie przecinają.

8.Prosta prostopadła

Dwie niepionowe proste są prostopadłe, gdy iloczyn ich współczynników kierunkowych wynosi $-1$. Jeśli jedna ma współczynnik $a$, to druga ma współczynnik $-\frac{1}{a}$, o ile $a\neq 0$.

9.Prosta przez dwa punkty

Jeśli prosta przechodzi przez punkty $(x_1,y_1)$ i $(x_2,y_2)$ oraz $x_1\neq x_2$, to jej współczynnik kierunkowy obliczamy ze wzoru $a=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$. Potem podstawiamy jeden z punktów do wzoru $y=ax+b$ i wyznaczamy $b$.

10.Prosta pionowa

Prosta pionowa ma równanie $x=c$ i nie da się jej zapisać w postaci kierunkowej $y=ax+b$. W postaci ogólnej zapis jest możliwy, na przykład $x-4=0$.