Rozwiązywanie trójkątów prostokątnych

1.Trójkąt prostokątny

Trójkąt, w którym jeden kąt ma miarę $90^\circ$. Bok leżący naprzeciw tego kąta to przeciwprostokątna, a dwa pozostałe boki to przyprostokątne.

2.Przeciwprostokątna

Najdłuższy bok trójkąta prostokątnego. Leży naprzeciw kąta prostego i w twierdzeniu Pitagorasa jej kwadrat jest sumą kwadratów przyprostokątnych.

3.Przyprostokątne

Dwa boki tworzące kąt prosty w trójkącie prostokątnym. To na nich opiera się większość obliczeń z twierdzenia Pitagorasa i funkcji trygonometrycznych.

4.Twierdzenie Pitagorasa

Jeśli przyprostokątne mają długości $a$ i $b$, a przeciwprostokątna $c$, to zachodzi zależność $a^2+b^2=c^2$. Służy do obliczania trzeciego boku, gdy znamy dwa pozostałe.

5.Sinus kąta ostrego

W trójkącie prostokątnym dla kąta $\alpha$ mamy $\sin\alpha=\frac{\text{przeciwległa przyprostokątna}}{\text{przeciwprostokątna}}$. Pozwala wyznaczać bok lub kąt.

6.Cosinus kąta ostrego

Dla kąta $\alpha$ w trójkącie prostokątnym $\cos\alpha=\frac{\text{przyległa przyprostokątna}}{\text{przeciwprostokątna}}$. Jest używany do obliczania długości boków i miar kątów.

7.Tangens kąta ostrego

Dla kąta $\alpha$ zachodzi $\tg\alpha=\frac{\text{przeciwległa przyprostokątna}}{\text{przyległa przyprostokątna}}$. Nie korzysta z przeciwprostokątnej, więc bywa wygodny przy danych dwóch przyprostokątnych.

8.Kąty ostre w trójkącie prostokątnym

Suma dwóch kątów ostrych w trójkącie prostokątnym wynosi $90^\circ$, bo suma wszystkich kątów w trójkącie to $180^\circ$, a jeden z nich ma $90^\circ$.

9.Trójkąt $45^\circ$-$45^\circ$-$90^\circ$

To trójkąt prostokątny równoramienny. Przyprostokątne są równe, a przeciwprostokątna jest równa długości przyprostokątnej pomnożonej przez $\sqrt{2}$.

10.Trójkąt $30^\circ$-$60^\circ$-$90^\circ$

W takim trójkącie bok naprzeciw kąta $30^\circ$ jest równy połowie przeciwprostokątnej. Druga przyprostokątna ma długość tej połowy pomnożonej przez $\sqrt{3}$.

11.Pole trójkąta prostokątnego

Pole obliczamy ze wzoru $P=\frac{1}{2}ab$, gdzie $a$ i $b$ są przyprostokątnymi. Wynika to z tego, że przyprostokątne są prostopadłe.

12.Wysokość na przeciwprostokątną

To odcinek poprowadzony z wierzchołka kąta prostego prostopadle do przeciwprostokątnej. Jej długość można wyznaczyć np. z porównania pól: $\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}ch$, więc $h=\frac{ab}{c}$.

13.Dobór funkcji trygonometrycznej

W zadaniach wybiera się tę funkcję, która łączy dane i szukane wielkości. Gdy występują przyprostokątna i przeciwprostokątna, wygodne są sinus lub cosinus; gdy dwie przyprostokątne — tangens.

14.Rozwiązać trójkąt

To wyznaczyć wszystkie brakujące boki i kąty trójkąta. W trójkącie prostokątnym zwykle korzysta się z twierdzenia Pitagorasa, funkcji trygonometrycznych i faktu, że kąty ostre sumują się do $90^\circ$.