Pole trójkąta z użyciem sinusa kąta

1.Wzór na pole z sinusem

Pole trójkąta o bokach $a$ i $b$ oraz kącie $\gamma$ między nimi wyraża się wzorem $P=\frac{1}{2}ab\sin\gamma$. Analogicznie można użyć każdej pary boków i kąta zawartego między nimi, np. $P=\frac{1}{2}bc\sin\alpha$ lub $P=\frac{1}{2}ac\sin\beta$.

2.Kąt zawarty między bokami

To kąt leżący pomiędzy dwoma bokami użytymi we wzorze. Jeśli korzystasz z boków $a$ i $b$, musisz wziąć kąt między nimi, czyli $\gamma$. Użycie innego kąta prowadzi do błędnego wyniku.

3.Sinus kąta

Dla kątów od $0^\circ$ do $180^\circ$ sinus przyjmuje wartości od $0$ do $1$. We wzorze na pole odpowiada za „wysokość ukrytą” w trójkącie. Gdy sinus rośnie, przy tych samych bokach pole też rośnie.

4.Pole w trójkącie prostokątnym

Jeśli kąt między bokami ma $90^\circ$, to $\sin 90^\circ=1$, więc wzór daje $P=\frac{1}{2}ab$. Otrzymujemy znany wzór na pole trójkąta prostokątnego: połowa iloczynu przyprostokątnych.

5.Wartości szczególne sinusa

Najczęściej używane są: $\sin 30^\circ=\frac{1}{2}$, $\sin 45^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\sin 60^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin 90^\circ=1$. Pozwalają szybko obliczać pole bez kalkulatora.

6.Kąty dopełniające do $180^\circ$

Dla kątów $\gamma$ i $180^\circ-\gamma$ zachodzi równość $\sin(180^\circ-\gamma)=\sin\gamma$. Dlatego trójkąty o tych samych dwóch bokach i kątach między nimi równych np. $60^\circ$ i $120^\circ$ mają takie samo pole.

7.Związek z wysokością

Ze wzoru $P=\frac{1}{2}ah$ oraz zależności trygonometrycznych wynika wzór sinusowy. Jeśli wysokość opuszczona na bok $a$ ma długość $h=b\sin\gamma$, to $P=\frac{1}{2}a\cdot b\sin\gamma$.

8.Jednostka pola

Pole wyrażamy w jednostkach kwadratowych, np. $\text{cm}^2$, $\text{m}^2$. Jeśli boki podano w centymetrach, to po obliczeniu pola wynik musi być w centymetrach kwadratowych.

9.Kiedy stosować wzór sinusowy

Wzór jest szczególnie wygodny, gdy znamy dwa boki i kąt między nimi. Sprawdza się też w zadaniach, w których najpierw trzeba odczytać lub obliczyć wartość sinusa danego kąta.

10.Maksymalne pole przy danych bokach

Dla ustalonych boków $a$ i $b$ pole $P=\frac{1}{2}ab\sin\gamma$ jest największe wtedy, gdy $\sin\gamma$ jest największy, czyli dla $\gamma=90^\circ$. Wtedy trójkąt jest prostokątny względem tych boków.