Jedynka trygonometryczna i zależność $\tg x=\frac{\sin x}{\cos x}$

1.Jedynka trygonometryczna

To zależność $\sin^2 x+\cos^2 x=1$. Jest prawdziwa dla każdego kąta, dla którego sinus i cosinus są określone. Pozwala obliczać jedną funkcję trygonometryczną na podstawie drugiej oraz upraszczać wyrażenia.

2.Tangens kąta

Tangens kąta spełnia wzór $\tg x=\frac{\sin x}{\cos x}$, o ile $\cos x\neq 0$. Oznacza to, że tangens jest ilorazem sinusa i cosinusa tego samego kąta.

3.Warunek istnienia tangensa

Wyrażenie $\tg x=\frac{\sin x}{\cos x}$ ma sens tylko wtedy, gdy mianownik nie jest równy zeru, czyli gdy $\cos x\neq 0$. Dla kątów, dla których $\cos x=0$, tangens nie istnieje.

4.Obliczanie cosinusa z sinusa

Z jedynki trygonometrycznej mamy $\cos^2 x=1-\sin^2 x$, więc $\cos x=\pm\sqrt{1-\sin^2 x}$. Znak zależy od tego, w której części układu leży kąt, czyli od znaku cosinusa.

5.Obliczanie sinusa z cosinusa

Z tożsamości $\sin^2 x+\cos^2 x=1$ otrzymujemy $\sin^2 x=1-\cos^2 x$, więc $\sin x=\pm\sqrt{1-\cos^2 x}$. O wyborze znaku decyduje znak sinusa dla danego kąta.

6.Przekształcenie z tangensem

Jeśli znamy $\tg x$, to po podstawieniu $\tg x=\frac{\sin x}{\cos x}$ można łączyć ten wzór z jedynką trygonometryczną. Dzięki temu da się wyznaczać sinus i cosinus, jeśli dodatkowo znamy znak tych funkcji.

7.Znaki funkcji w II ćwiartce

Dla kątów od $90^\circ$ do $180^\circ$ mamy $\sin x>0$ oraz $\cos x<0$. Dlatego w tej części układu tangens jest ujemny, bo $\tg x=\frac{\sin x}{\cos x}$.

8.Wartości szczególne

Dla kątów $30^\circ$, $45^\circ$ i $60^\circ$ warto znać wartości: $\sin 30^\circ=\frac{1}{2}$, $\cos 30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin 45^\circ=\cos 45^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\sin 60^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\cos 60^\circ=\frac{1}{2}$. Z nich można obliczać tangens.