Sinus, cosinus i tangens kątów od $0^\circ$ do $180^\circ$

1.Sinus kąta $\alpha$

Dla kąta ostrego w trójkącie prostokątnym sinus to stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta do długości przeciwprostokątnej: $\sin\alpha=\frac{a}{c}$. Dla kątów od $0^\circ$ do $180^\circ$ korzystamy też z interpretacji na okręgu jednostkowym.

2.Cosinus kąta $\alpha$

Dla kąta ostrego w trójkącie prostokątnym cosinus to stosunek długości przyprostokątnej przyległej do kąta do długości przeciwprostokątnej: $\cos\alpha=\frac{b}{c}$. Na okręgu jednostkowym odpowiada współrzędnej $x$ punktu.

3.Tangens kąta $\alpha$

Dla kąta ostrego w trójkącie prostokątnym tangens to stosunek długości przyprostokątnej naprzeciw kąta do przyprostokątnej przyległej: $\tg\alpha=\frac{a}{b}$. Gdy $\cos\alpha\neq 0$, zachodzi też $\tg\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$.

4.Okrąg jednostkowy

To okrąg o promieniu $1$ i środku w początku układu współrzędnych. Dla kąta $\alpha$ punkt na jego okręgu ma współrzędne $\left(\cos\alpha,\sin\alpha\right)$. Dzięki temu można określać sinus i cosinus także dla kątów rozwartych.

5.Wartości szczególne

Należy znać wartości funkcji dla kątów $0^\circ$, $30^\circ$, $45^\circ$, $60^\circ$, $90^\circ$, a z nich wyznaczać też wartości dla $120^\circ$, $135^\circ$, $150^\circ$ i $180^\circ$. To podstawa większości zadań maturalnych.

6.Znaki w przedziale $0^\circ$–$180^\circ$

W tym zakresie sinus jest nieujemny dla wszystkich kątów. Cosinus jest dodatni dla kątów od $0^\circ$ do $90^\circ$, równy $0$ dla $90^\circ$ i ujemny dla kątów od $90^\circ$ do $180^\circ$. Tangens ma znak zgodny z ilorazem sinusa i cosinusa.

7.Jedynka trygonometryczna

Dla każdego kąta, dla którego określone są sinus i cosinus, zachodzi zależność $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$. Pozwala ona obliczyć jedną z tych wartości, gdy znamy drugą, z uwzględnieniem znaku.

8.Zależność dla tangensa

Jeśli $\cos\alpha\neq 0$, to $\tg\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$. Dlatego tangens nie jest określony dla $\alpha=90^\circ$, bo wtedy mianownik jest równy $0$.

9.Kąty dopełniające do $180^\circ$

Dla kątów $\alpha$ i $180^\circ-\alpha$ zachodzi: $\sin(180^\circ-\alpha)=\sin\alpha$, $\cos(180^\circ-\alpha)=-\cos\alpha$, $\tg(180^\circ-\alpha)=-\tg\alpha$ przy istnieniu tangensa. To ważne dla kątów rozwartych.

10.Wartości dla $0^\circ$, $90^\circ$, $180^\circ$

Mamy: $\sin 0^\circ=0$, $\cos 0^\circ=1$; $\sin 90^\circ=1$, $\cos 90^\circ=0$; $\sin 180^\circ=0$, $\cos 180^\circ=-1$. Tangens dla $0^\circ$ wynosi $0$, dla $90^\circ$ nie istnieje, a dla $180^\circ$ wynosi $0$.