Ciąg geometryczny: wzór ogólny i suma wyrazów

1.Ciąg geometryczny

Ciąg, w którym każdy wyraz od drugiego otrzymujemy przez pomnożenie wyrazu poprzedniego przez tę samą liczbę $q$, zwaną ilorazem. Dla kolejnych wyrazów zachodzi zależność $a_{n+1}=a_n\cdot q$.

2.Iloraz ciągu geometrycznego

Liczba $q$, przez którą mnożymy jeden wyraz, aby otrzymać następny. Jeśli $a_n\neq 0$, to $q=\frac{a_{n+1}}{a_n}$. Iloraz może być dodatni, ujemny, równy $1$, a także równy $0$.

3.Wzór ogólny ciągu geometrycznego

Jeśli pierwszy wyraz to $a_1$, a iloraz to $q$, to $n$-ty wyraz ma postać $a_n=a_1\cdot q^{n-1}$. Wzór ten pozwala obliczyć dowolny wyraz bez wyznaczania wszystkich poprzednich.

4.Suma $n$ początkowych wyrazów

Dla $q\neq 1$ suma pierwszych $n$ wyrazów ciągu geometrycznego wynosi $S_n=a_1\cdot \frac{1-q^n}{1-q}$. To równoważnie można zapisać jako $S_n=a_1\cdot \frac{q^n-1}{q-1}$.

5.Przypadek $q=1$

Jeśli $q=1$, to wszystkie wyrazy ciągu są równe $a_1$. Wtedy nie stosujemy wzoru z mianownikiem $1-q$, lecz korzystamy z prostego wzoru $S_n=n\cdot a_1$.

6.Warunek bycia ciągiem geometrycznym

Trzy kolejne liczby $a,b,c$ są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego, gdy istnieje stały iloraz, czyli $\frac{b}{a}=\frac{c}{b}$ dla odpowiednich niezerowych wyrazów. Równoważnie można użyć warunku $b^2=a\cdot c$.

7.Monotoniczność ciągu geometrycznego

Zależy od znaków i wartości $a_1$ oraz $q$. Dla dodatniego $a_1$: gdy $q>1$, ciąg rośnie; gdy $0<q<1$, maleje; gdy $q=1$, jest stały. Przy $q<0$ wyrazy zwykle zmieniają znaki, więc ciąg nie jest monotoniczny.

8.Zastosowania ciągu geometrycznego

Ciąg geometryczny opisuje zjawiska ze stałym mnożnikiem, np. procent składany, wzrost populacji przy stałym procencie, spadek wartości o stały procent lub wielokrotne dzielenie odcinka przez tę samą liczbę.