Ciągi rekurencyjne i monotoniczność

1.Ciąg liczbowy

Funkcja, której dziedziną jest zbiór liczb naturalnych dodatnich lub jego część, a wartościami są liczby. Wyrazy ciągu oznacza się zwykle przez $a_1, a_2, a_3, \dots$.

2.Wzór rekurencyjny ciągu

Sposób określenia ciągu przez podanie wyrazu początkowego lub kilku wyrazów początkowych oraz reguły wyznaczania następnego wyrazu na podstawie poprzednich, np. $a_{n+1}=a_n+3$.

3.Wyraz początkowy

Pierwszy podany wyraz ciągu, potrzebny do rozpoczęcia obliczeń we wzorze rekurencyjnym, np. $a_1=2$. Bez niego zwykle nie da się wyznaczyć konkretnych wartości ciągu.

4.Wzór jawny ciągu

Wzór pozwalający obliczyć dowolny wyraz bez liczenia poprzednich, np. $a_n=2n+1$. W przeciwieństwie do wzoru rekurencyjnego nie wymaga przechodzenia po kolei przez wcześniejsze wyrazy.

5.Ciąg rosnący

Ciąg jest rosnący, gdy dla każdego dopuszczalnego $n$ zachodzi $a_{n+1}>a_n$. Każdy następny wyraz jest większy od poprzedniego.

6.Ciąg malejący

Ciąg jest malejący, gdy dla każdego dopuszczalnego $n$ zachodzi $a_{n+1}<a_n$. Każdy następny wyraz jest mniejszy od poprzedniego.

7.Ciąg stały

Ciąg, w którym wszystkie wyrazy są równe, czyli dla każdego $n$ mamy $a_{n+1}=a_n$. Taki ciąg jest jednocześnie niemalejący i nierosnący.

8.Badanie monotoniczności

Sprawdzanie, jak zachowują się kolejne wyrazy ciągu. Najczęściej porównuje się $a_{n+1}$ i $a_n$, bada znak różnicy $a_{n+1}-a_n$ albo ilorazu $\frac{a_{n+1}}{a_n}$, gdy ma to sens.

9.Ciąg arytmetyczny

Ciąg, w którym różnica kolejnych wyrazów jest stała. Rekurencyjnie można go zapisać jako $a_{n+1}=a_n+r$, gdzie $r$ to różnica ciągu.

10.Ciąg geometryczny

Ciąg, w którym iloraz kolejnych wyrazów jest stały. Rekurencyjnie: $a_{n+1}=q\cdot a_n$, gdzie $q$ jest ilorazem ciągu.