Równania wielomianowe w postaci iloczynowej

1.Równanie wielomianowe w postaci iloczynowej

To równanie zapisane jako iloczyn czynników, np. $(x-2)(x+3)(2x-1)=0$. Rozwiązuje się je, korzystając z faktu, że iloczyn jest równy zero wtedy i tylko wtedy, gdy przynajmniej jeden z czynników jest równy zero.

2.Zasada iloczynu równego zeru

Jeśli $A\cdot B\cdot C=0$, to co najmniej jeden z czynników musi spełniać warunek: $A=0$ lub $B=0$ lub $C=0$. Ta zasada działa w liczbach rzeczywistych i jest podstawą rozwiązywania równań wielomianowych w postaci iloczynowej.

3.Czynnik liniowy

To czynnik postaci $ax+b$, gdzie $a\neq 0$. Aby znaleźć rozwiązanie wynikające z takiego czynnika, rozwiązujemy równanie liniowe $ax+b=0$. Na przykład z $2x-6=0$ otrzymujemy $x=3$.

4.Pierwiastek równania

To taka liczba, która po podstawieniu za $x$ spełnia równanie. W równaniu $(x-4)(x+1)=0$ pierwiastkami są $x=4$ i $x=-1$, bo zerują odpowiednie czynniki.

5.Krotność pierwiastka

Jeśli ten sam czynnik pojawia się kilka razy, np. $(x-2)^2=0$, to mówimy, że $x=2$ jest pierwiastkiem wielokrotnym. W tym przykładzie ma krotność $2$. W zbiorze rozwiązań zapisujemy jednak ten pierwiastek tylko raz.

6.Czynnik stały

Czynnik stały to liczba bez $x$, np. $3$ lub $-5$. Jeśli jest różny od zera, nie wpływa na zbiór rozwiązań równania iloczynowego, bo sam nie może dać zera. Np. $3(x-1)=0$ ma to samo rozwiązanie co $(x-1)=0$.

7.Równanie tożsamościowe

To równanie prawdziwe dla każdej liczby z dziedziny. W kontekście iloczynu pojawia się np. przy zapisie $0\cdot (x-2)=0$, bo lewa strona zawsze jest równa zero. Wtedy rozwiązań jest nieskończenie wiele.

8.Równanie sprzeczne

To równanie, które nie ma rozwiązań. W postaci iloczynowej może się pojawić np. jako $5=0$ albo $2(x^2+1)=0$ w liczbach rzeczywistych, gdy żaden czynnik zależny od $x$ nie może być równy zero.