Mnożenie i dzielenie wyrażeń wymiernych

1.Wyrażenie wymierne

Wyrażenie postaci $\frac{A(x)}{B(x)}$, gdzie $A(x)$ i $B(x)$ są wielomianami oraz $B(x)\neq 0$. W zadaniach trzeba zawsze uwzględnić, dla jakich $x$ mianownik nie może być równy zeru.

2.Dziedzina wyrażenia wymiernego

Zbiór wszystkich liczb, dla których wyrażenie ma sens. Wyznaczamy ją, wykluczając te wartości zmiennej, które zerują którykolwiek mianownik występujący w wyrażeniu przed uproszczeniem.

3.Mnożenie wyrażeń wymiernych

Aby pomnożyć wyrażenia wymierne, mnożymy licznik przez licznik i mianownik przez mianownik: $\frac{A}{B}\cdot\frac{C}{D}=\frac{AC}{BD}$, przy założeniu $B\neq 0$ i $D\neq 0$. Przed końcem warto skrócić wspólne czynniki.

4.Dzielenie wyrażeń wymiernych

Dzielenie przez wyrażenie wymierne zamieniamy na mnożenie przez jego odwrotność: $\frac{A}{B}:\frac{C}{D}=\frac{A}{B}\cdot\frac{D}{C}$. Dodatkowo trzeba pamiętać, że dzielnik nie może być równy zeru.

5.Skracanie wyrażeń

Skracać wolno tylko wspólne czynniki licznika i mianownika, a nie składniki połączone dodawaniem lub odejmowaniem. Dlatego często najpierw trzeba rozłożyć licznik i mianownik na czynniki.

6.Rozkład na czynniki

To przekształcenie wielomianu do postaci iloczynu, np. przez wyłączenie wspólnego czynnika lub wzory skróconego mnożenia. Jest kluczowy przy skracaniu wyrażeń wymiernych.

7.Odwrotność wyrażenia wymiernego

Odwrotnością $\frac{A}{B}$ jest $\frac{B}{A}$, o ile $A\neq 0$ i $B\neq 0$. Używamy jej przy dzieleniu wyrażeń wymiernych.

8.Wzory skróconego mnożenia

Przy upraszczaniu często używa się wzorów: $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$, $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$, $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$. Pozwalają one rozłożyć lub rozpoznać wielomiany do skracania.