Prawdopodobieństwo klasyczne w prostych zadaniach

1.Prawdopodobieństwo klasyczne

Prawdopodobieństwo zdarzenia $A$ w modelu klasycznym obliczamy ze wzoru $P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}$, gdzie $|A|$ to liczba wyników sprzyjających, a $|\Omega|$ to liczba wszystkich możliwych wyników. Wzór ten stosujemy wtedy, gdy wszystkie wyniki są jednakowo możliwe.

2.Przestrzeń zdarzeń elementarnych $\Omega$

To zbiór wszystkich możliwych wyników doświadczenia losowego. Na przykład przy rzucie sześcienną kostką mamy $\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}$. Liczba elementów tego zbioru jest mianownikiem we wzorze na prawdopodobieństwo.

3.Zdarzenie losowe

To dowolny podzbiór przestrzeni $\Omega$. Zdarzenie może polegać na tym, że wypadnie liczba parzysta, suma oczek będzie równa 7 albo wylosowana kula będzie czerwona. Jeśli zdarzenie zawiera kilka wyników elementarnych, wszystkie one są dla niego sprzyjające.

4.Wyniki sprzyjające

Są to te wyniki z przestrzeni $\Omega$, które spełniają warunek danego zdarzenia. W liczniku wzoru na prawdopodobieństwo wpisujemy właśnie ich liczbę, czyli $|A|$.

5.Zdarzenie niemożliwe

To zdarzenie, które nie może zajść, więc nie ma żadnych wyników sprzyjających. Jego prawdopodobieństwo wynosi $0$. Przykład: wyrzucenie liczby 7 na zwykłej kostce sześciennej.

6.Zdarzenie pewne

To zdarzenie obejmujące całą przestrzeń $\Omega$, więc musi zajść. Jego prawdopodobieństwo wynosi $1$. Przykład: w rzucie kostką wypadnie liczba od 1 do 6.

7.Zdarzenia przeciwne

Zdarzenia przeciwne to takie, że jedno zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy drugie nie zachodzi. Jeśli $A$ jest zdarzeniem, to zdarzenie przeciwne oznaczamy zwykle $\overline{A}$ i mamy zależność $P(\overline{A})=1-P(A)$.

8.Jednakowo możliwe wyniki

Model klasyczny wymaga, aby każdy wynik elementarny miał taką samą szansę wystąpienia. Dlatego można liczyć prawdopodobieństwo jako iloraz liczby wyników sprzyjających i wszystkich wyników.

9.Reguła mnożenia w zliczaniu

Jeśli doświadczenie składa się z kolejnych etapów, a pierwszy można wykonać na $m$ sposobów, a drugi na $n$ sposobów, to całość można wykonać na $m\cdot n$ sposobów. To podstawowe narzędzie przy liczeniu liczby wyników w prawdopodobieństwie.

10.Reguła dodawania w zliczaniu

Jeśli coś można zrobić na $m$ sposobów albo na $n$ sposobów, a przypadki się nie pokrywają, to łącznie jest $m+n$ możliwości. Przydaje się przy liczeniu wyników sprzyjających podzielonych na rozłączne przypadki.

11.Rzut monetą

Przy jednym rzucie monetą przestrzeń zdarzeń ma zwykle dwa wyniki: orzeł i reszka. Przy kilku rzutach liczbę wszystkich możliwych sekwencji liczymy regułą mnożenia, na przykład dla dwóch rzutów jest $2\cdot 2=4$.

12.Rzut dwiema kostkami

Przy rzucie dwiema rozróżnialnymi kostkami wynik zapisujemy jako uporządkowaną parę, np. $(2,5)$. Wszystkich wyników jest $6\cdot 6=36$. To ważne przy zadaniach o sumie oczek lub o wyrzuceniu określonych liczb.

13.Losowanie bez zwracania

Po wyjęciu elementu nie odkładamy go z powrotem, więc w kolejnym kroku liczba możliwości się zmienia. W prostych zadaniach trzeba wtedy uważnie liczyć kolejne etapy doświadczenia.

14.Losowanie ze zwracaniem

Po każdym losowaniu element wraca do zbioru, więc liczba możliwości w następnym kroku pozostaje taka sama. Dzięki temu kolejne etapy często liczy się łatwiej.