Przesunięcia wykresu funkcji

1.Przesunięcie wykresu

Przekształcenie polegające na przesunięciu wszystkich punktów wykresu funkcji o ten sam wektor, bez zmiany kształtu wykresu. W szkole średniej najczęściej rozpatruje się przesunięcia poziome i pionowe.

2.$y=f(x-a)$

Wykres funkcji $y=f(x-a)$ powstaje przez przesunięcie wykresu funkcji $y=f(x)$ o $a$ jednostek w prawo, jeśli $a>0$, albo o $|a|$ jednostek w lewo, jeśli $a<0$.

3.$y=f(x)+b$

Wykres funkcji $y=f(x)+b$ powstaje przez przesunięcie wykresu funkcji $y=f(x)$ o $b$ jednostek w górę, jeśli $b>0$, albo o $|b|$ jednostek w dół, jeśli $b<0$.

4.Przesunięcie w poziomie

Zmiana argumentu funkcji, czyli zastąpienie $x$ wyrażeniem $x-a$. Powoduje przesunięcie wykresu wzdłuż osi $Ox$, ale nie zmienia wartości różnic między punktami ani kształtu wykresu.

5.Przesunięcie w pionie

Zmiana wartości funkcji przez dodanie lub odjęcie liczby: $f(x)+b$. Powoduje przesunięcie wykresu wzdłuż osi $Oy$, bez zmiany dziedziny i kształtu wykresu.

6.Wektor przesunięcia

Jeśli przechodzimy od $y=f(x)$ do $y=f(x-a)+b$, to każdy punkt wykresu przesuwa się o wektor $(a,b)$, czyli o $a$ w poziomie i o $b$ w pionie.

7.Dziedzina po przesunięciu

Przy przesunięciu pionowym $y=f(x)+b$ dziedzina się nie zmienia. Przy przesunięciu poziomym $y=f(x-a)$ dziedzina przesuwa się o $a$ jednostek w prawo lub lewo razem z wykresem.

8.Zbiór wartości po przesunięciu

Przy przesunięciu poziomym $y=f(x-a)$ zbiór wartości się nie zmienia. Przy przesunięciu pionowym $y=f(x)+b$ cały zbiór wartości przesuwa się o $b$ jednostek w górę lub w dół.

9.Miejsce zerowe po przesunięciu poziomym

Jeśli liczba $x_0$ jest miejscem zerowym funkcji $f(x)$, to dla funkcji $f(x-a)$ miejscem zerowym jest $x_0+a$. Miejsce zerowe przesuwa się razem z wykresem w poziomie.

10.Wierzchołek paraboli po przesunięciu

Jeśli parabola $y=f(x)$ ma wierzchołek w punkcie $(p,q)$, to parabola $y=f(x-a)+b$ ma wierzchołek w punkcie $(p+a,q+b)$.

11.Przykład: $y=(x-2)^2$

To wykres funkcji $y=x^2$ przesunięty o $2$ jednostki w prawo. Wierzchołek przechodzi z punktu $(0,0)$ do punktu $(2,0)$.

12.Przykład: $y=x^2-3$

To wykres funkcji $y=x^2$ przesunięty o $3$ jednostki w dół. Wierzchołek przechodzi z punktu $(0,0)$ do punktu $(0,-3)$.