Twierdzenie sinusów i twierdzenie cosinusów

1.Twierdzenie sinusów

W każdym trójkącie zachodzi zależność $$\frac{a}{\sin \alpha}=\frac{b}{\sin \beta}=\frac{c}{\sin \gamma}.$$ Łączy ono długości boków z sinusami kątów leżących naprzeciw tych boków. Jest szczególnie przydatne, gdy znamy bok i kąt naprzeciw niego oraz jeszcze jeden bok albo kąt.

2.Twierdzenie cosinusów

W każdym trójkącie zachodzi m.in. $$a^2=b^2+c^2-2bc\cos\alpha,$$ a analogicznie dla pozostałych boków. Twierdzenie to pozwala obliczyć trzeci bok, gdy znamy dwa boki i kąt między nimi, albo wyznaczyć kąt, gdy znamy trzy boki.

3.Kąt zawarty między bokami

To kąt leżący między dwoma danymi bokami trójkąta. Jeśli znamy dwa boki i kąt zawarty między nimi, najwygodniej użyć twierdzenia cosinusów, bo wzór bezpośrednio łączy te trzy dane z trzecim bokiem.

4.Bok naprzeciw kąta

W trójkącie każdy kąt ma bok leżący naprzeciw niego. W twierdzeniu sinusów trzeba poprawnie sparować bok z kątem naprzeciwległym, np. bok $a$ z kątem $\alpha$. Błędne parowanie prowadzi do złego wyniku.

5.Zastosowanie twierdzenia sinusów

Twierdzenie sinusów stosujemy najczęściej, gdy mamy parę: bok i kąt naprzeciw niego, oraz jeszcze jeden bok albo kąt. Dobrze działa także przy obliczaniu promienia okręgu opisanego, choć w zadaniach szkolnych częściej służy do rozwiązywania trójkątów.

6.Zastosowanie twierdzenia cosinusów

Twierdzenie cosinusów stosujemy zwłaszcza wtedy, gdy znamy dwa boki i kąt między nimi albo wszystkie trzy boki. Umożliwia ono obliczenie brakującego boku lub kąta bez potrzeby rozkładania figury na trójkąty prostokątne.

7.Związek z twierdzeniem Pitagorasa

Twierdzenie cosinusów uogólnia twierdzenie Pitagorasa. Gdy $\alpha=90^\circ$, mamy $\cos 90^\circ=0$, więc wzór $$a^2=b^2+c^2-2bc\cos\alpha$$ przechodzi w $$a^2=b^2+c^2.$$

8.Pole trójkąta z sinusem

Jeśli znamy dwa boki i kąt między nimi, pole trójkąta obliczamy ze wzoru $$P=\frac{1}{2}ab\sin\gamma.$$ To praktyczne zastosowanie funkcji trygonometrycznych w geometrii i często pojawia się razem z twierdzeniem sinusów lub cosinusów.