Logarytmy jako działania odwrotne do potęgowania

1.Logarytm

Logarytm liczby dodatniej $b$ przy podstawie dodatniej $a\neq 1$ to wykładnik potęgi, do której trzeba podnieść $a$, aby otrzymać $b$. Zapis: $\log_a b=c \iff a^c=b$.

2.Związek logarytmu z potęgowaniem

Logarytm i potęgowanie są działaniami odwrotnymi. Jeśli $a^c=b$, to $\log_a b=c$. Dzięki temu można zamieniać zapis wykładniczy na logarytmiczny i odwrotnie.

3.Warunki istnienia logarytmu

Aby wyrażenie $\log_a b$ miało sens, musi być spełnione: $a>0$, $a\neq 1$ oraz $b>0$. Podstawa logarytmu nie może być ujemna ani równa $1$, a liczba logarytmowana musi być dodatnia.

4.Argument logarytmu

Argumentem logarytmu jest liczba logarytmowana, czyli $b$ w zapisie $\log_a b$. Musi spełniać warunek $b>0$. Na przykład $\log_2 8$ istnieje, ale $\log_2 (-8)$ nie istnieje w zbiorze liczb rzeczywistych.

5.Podstawa logarytmu

Podstawą logarytmu jest liczba $a$ w zapisie $\log_a b$. Określa ona, jaką potęgę rozważamy. Musi spełniać warunki $a>0$ oraz $a\neq 1$.

6.Wartości szczególne logarytmów

Dla dopuszczalnej podstawy $a$ zachodzi: $\log_a 1=0$, bo $a^0=1$, oraz $\log_a a=1$, bo $a^1=a$. Te własności często pozwalają szybko obliczać proste logarytmy.

7.Logarytm iloczynu

Dla dodatnich liczb $x,y$ i podstawy $a>0$, $a\neq 1$, mamy $\log_a(xy)=\log_a x+\log_a y$. Iloczyn w argumencie zamienia się na sumę logarytmów.

8.Logarytm ilorazu

Dla dodatnich liczb $x,y$ i podstawy $a>0$, $a\neq 1$, zachodzi $\log_a\left(\frac{x}{y}\right)=\log_a x-\log_a y$. Dzielenie w argumencie odpowiada odejmowaniu logarytmów.

9.Logarytm potęgi

Dla $x>0$ oraz podstawy $a>0$, $a\neq 1$, mamy $\log_a(x^r)=r\log_a x$. Wykładnik potęgi można „wyciągnąć” przed logarytm.

10.Funkcja logarytmiczna

Funkcja logarytmiczna ma postać $f(x)=\log_a x$, gdzie $a>0$ i $a\neq 1$. Jej dziedziną są liczby dodatnie. Jest rosnąca dla $a>1$ i malejąca dla $0<a<1$. Przechodzi przez punkt $(1,0)$.