Ciąg arytmetyczny: wzór ogólny i suma wyrazów

1.Ciąg arytmetyczny

Ciąg liczbowy, w którym różnica między każdym wyrazem a poprzednim jest stała. Jeśli dla każdego kolejnego wyrazu zachodzi $a_{n+1}-a_n=r$, to ciąg jest arytmetyczny, a liczba $r$ nazywa się różnicą ciągu.

2.Różnica ciągu arytmetycznego

Stała liczba oznaczana zwykle przez $r$, o którą różnią się kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego. Obliczamy ją ze wzoru $r=a_{n+1}-a_n$.

3.Wzór ogólny ciągu arytmetycznego

Jeśli $a_1$ jest pierwszym wyrazem, a $r$ różnicą, to $n$-ty wyraz ciągu arytmetycznego wyraża wzór $a_n=a_1+(n-1)r$. Pozwala on obliczyć dowolny wyraz bez wypisywania wszystkich poprzednich.

4.Suma $n$ początkowych wyrazów

Suma pierwszych $n$ wyrazów ciągu arytmetycznego ma postać $S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n$. To średnia pierwszego i $n$-tego wyrazu pomnożona przez liczbę wyrazów.

5.Drugi wzór na sumę

Gdy nie znamy $a_n$, można użyć wzoru $S_n=\frac{2a_1+(n-1)r}{2}\cdot n$. Otrzymujemy go po podstawieniu do wzoru na sumę zależności $a_n=a_1+(n-1)r$.

6.Ciąg rosnący, malejący, stały

Ciąg arytmetyczny jest rosnący, gdy $r>0$, malejący, gdy $r<0$, a stały, gdy $r=0$. O zachowaniu ciągu decyduje wyłącznie znak różnicy.

7.Wyraz środkowy

W trzech kolejnych wyrazach ciągu arytmetycznego wyraz środkowy jest średnią arytmetyczną sąsiednich: jeśli $a$, $b$, $c$ są kolejnymi wyrazami, to $b=\frac{a+c}{2}$.

8.Zastosowanie wzoru ogólnego

Znając dwa wyrazy ciągu arytmetycznego, można wyznaczyć różnicę, pierwszy wyraz i cały wzór ogólny. To częsty typ zadania maturalnego, zwłaszcza gdy podane są np. $a_3$ i $a_7$.