Proporcjonalność odwrotna: $y=\frac{a}{x}$

1.Proporcjonalność odwrotna

To zależność opisana wzorem $y=\frac{a}{x}$, gdzie $a\neq 0$ jest stałą. Iloczyn zmiennych $x\cdot y$ ma wtedy stałą wartość równą $a$. Gdy jedna zmienna rośnie, druga maleje co do wartości bezwzględnej w taki sposób, by iloczyn pozostał stały.

2.Parametr $a$

Liczba $a$ decyduje o położeniu gałęzi wykresu. Jeśli $a>0$, wykres leży w I i III ćwiartce. Jeśli $a<0$, leży w II i IV ćwiartce. Im większa wartość $|a|$, tym dla tych samych argumentów wartości funkcji mają większą wartość bezwzględną.

3.Dziedzina funkcji $y=\frac{a}{x}$

Dziedziną są wszystkie liczby rzeczywiste oprócz zera, bo nie wolno dzielić przez $0$. Zapisujemy ją jako $\mathbb{R}\setminus\{0\}$.

4.Zbiór wartości funkcji $y=\frac{a}{x}$

Zbiorem wartości są wszystkie liczby rzeczywiste oprócz zera, ponieważ dla $a\neq 0$ równanie $\frac{a}{x}=0$ nie ma rozwiązań. Zapis: $\mathbb{R}\setminus\{0\}$.

5.Wykres funkcji $y=\frac{a}{x}$

Wykresem jest hiperbola składająca się z dwóch gałęzi. Osi $OX$ i $OY$ nie przecina, ale zbliża się do nich coraz bardziej. Osie układu są asymptotami tego wykresu.

6.Monotoniczność dla $a>0$

Jeśli $a>0$, funkcja jest malejąca na każdym z przedziałów swojej dziedziny: osobno na $(-\infty,0)$ i osobno na $(0,\infty)$. Nie mówimy, że jest malejąca na całej dziedzinie naraz, bo dziedzina nie jest przedziałem.

7.Monotoniczność dla $a<0$

Jeśli $a<0$, funkcja jest rosnąca na $(-\infty,0)$ oraz rosnąca na $(0,\infty)$. Tak jak wcześniej analizujemy każdy z tych przedziałów osobno.

8.Miejsce zerowe

Funkcja $y=\frac{a}{x}$ dla $a\neq 0$ nie ma miejsca zerowego. Aby funkcja była równa $0$, licznik musiałby być równy $0$, a tutaj licznik to stała niezerowa $a$.

9.Asymptoty

Prosta $x=0$ jest asymptotą pionową, a prosta $y=0$ asymptotą poziomą wykresu funkcji $y=\frac{a}{x}$. Oznacza to, że wykres zbliża się do tych prostych, ale ich nie osiąga.

10.Wyznaczanie parametru $a$ z punktu

Jeżeli punkt $(x,y)$ należy do wykresu funkcji $y=\frac{a}{x}$, to po pomnożeniu obu stron przez $x$ otrzymujemy $a=x\cdot y$. Dzięki temu można szybko wyznaczyć wzór funkcji.