Funkcja kwadratowa: wykres i miejsca zerowe

1.Funkcja kwadratowa

Funkcja dana wzorem $f(x)=ax^2+bx+c$, gdzie $a\neq 0$. Jej wykresem jest parabola. Współczynnik $a$ wpływa na kierunek ramion paraboli, a współczynniki $b$ i $c$ decydują m.in. o położeniu wykresu.

2.Postać ogólna

Wzór funkcji kwadratowej w postaci $f(x)=ax^2+bx+c$. Z tej postaci można odczytać np. wyraz wolny $c$, czyli punkt przecięcia wykresu z osią $OY$: $(0,c)$.

3.Postać kanoniczna

Wzór $f(x)=a(x-p)^2+q$, gdzie wierzchołek paraboli ma współrzędne $(p,q)$. Ta postać ułatwia odczytanie wierzchołka, osi symetrii oraz wartości najmniejszej lub największej funkcji.

4.Postać iloczynowa

Wzór $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$, gdy funkcja ma dwa miejsca zerowe $x_1$ i $x_2$. Ułatwia szybkie odczytanie miejsc zerowych z wzoru.

5.Parabola

Wykres funkcji kwadratowej. Może mieć ramiona skierowane w górę albo w dół. Jest symetryczna względem prostej zwanej osią symetrii.

6.Miejsca zerowe

Są to takie liczby $x$, dla których $f(x)=0$. Na wykresie odpowiadają punktom przecięcia paraboli z osią $OX$. Funkcja może mieć dwa, jedno lub zero miejsc zerowych.

7.Wyróżnik trójmianu

Delta to liczba $\Delta=b^2-4ac$. Pozwala ustalić liczbę miejsc zerowych funkcji kwadratowej: gdy $\Delta>0$ są dwa, gdy $\Delta=0$ jedno, a gdy $\Delta<0$ brak miejsc zerowych.

8.Oś symetrii paraboli

To prosta pionowa przechodząca przez wierzchołek paraboli. Jej równanie ma postać $x=-\frac{b}{2a}$ lub w postaci kanonicznej $x=p$. Dzieli wykres na dwie lustrzane części.

9.Wierzchołek paraboli

Najwyższy lub najniższy punkt wykresu funkcji kwadratowej. Dla funkcji w postaci kanonicznej $f(x)=a(x-p)^2+q$ ma współrzędne $(p,q)$.

10.Wpływ współczynnika $a$

Jeśli $a>0$, ramiona paraboli są skierowane w górę i funkcja ma wartość najmniejszą. Jeśli $a<0$, ramiona są skierowane w dół i funkcja ma wartość największą. Im większe $|a|$, tym parabola jest węższa.

11.Punkt przecięcia z osią $OY$

Dla funkcji $f(x)=ax^2+bx+c$ jest to punkt $(0,c)$, bo $f(0)=c$. Odczytanie tego punktu jest najprostsze w postaci ogólnej.

12.Jedno miejsce zerowe

Funkcja kwadratowa ma jedno miejsce zerowe, gdy $\Delta=0$. Wtedy parabola dotyka osi $OX$ w wierzchołku i nie przecina jej w dwóch różnych punktach.