Układy równań liniowych z dwiema niewiadomymi

1.Układ równań liniowych

Zestaw co najmniej dwóch równań, które mają być spełnione jednocześnie. W liceum najczęściej rozpatruje się układ dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi, np. $\begin{cases}2x+y=5\\x-y=1\end{cases}$.

2.Równanie liniowe z dwiema niewiadomymi

Równanie postaci $ax+by=c$, gdzie $a$, $b$, $c$ są liczbami rzeczywistymi oraz przynajmniej jedna z liczb $a$, $b$ jest różna od zera. Jego wykresem jest prosta na płaszczyźnie kartezjańskiej.

3.Rozwiązanie układu

Para liczb $\left(x,y\right)$, która po podstawieniu do obu równań sprawia, że każde z nich staje się prawdziwe. Rozwiązanie trzeba sprawdzać w całym układzie, nie tylko w jednym równaniu.

4.Układ oznaczony

Układ mający dokładnie jedno rozwiązanie. Geometrycznie odpowiada to dwóm prostym przecinającym się w jednym punkcie.

5.Układ sprzeczny

Układ niemający żadnego rozwiązania. Geometrycznie odpowiada to dwóm prostym równoległym i różnym, które nie mają punktów wspólnych.

6.Układ nieoznaczony

Układ mający nieskończenie wiele rozwiązań. Dzieje się tak wtedy, gdy oba równania opisują tę samą prostą.

7.Metoda podstawiania

Jedną niewiadomą wyznacza się z jednego równania, a następnie otrzymane wyrażenie podstawia się do drugiego równania. Po obliczeniu jednej niewiadomej wyznacza się drugą.

8.Metoda przeciwnych współczynników

Przekształca się równania tak, aby współczynniki przy jednej niewiadomej były liczbami przeciwnymi lub równymi. Po dodaniu albo odjęciu równań eliminuje się jedną niewiadomą.

9.Interpretacja geometryczna układu

Każde równanie liniowe przedstawia prostą. Rozwiązania układu to punkty wspólne wykresów obu prostych: jeden punkt, brak punktów albo nieskończenie wiele punktów.

10.Zadanie tekstowe z układem

Sytuację opisaną słownie zamienia się na dwa równania z dwiema niewiadomymi. Niewiadome oznaczają szukane wielkości, a równania wynikają z warunków zadania.