Pierwiastki dowolnego stopnia i działania na nich

1.Pierwiastek $n$-tego stopnia

Liczba $b$, dla której $b^n=a$, nazywa się pierwiastkiem $n$-tego stopnia z liczby $a$. Zapisujemy to jako $\sqrt[n]{a}$. Dla parzystego $n$ w liczbach rzeczywistych zwykle wymagamy $a\ge 0$.

2.Pierwiastek kwadratowy

$\sqrt{a}$ to nieujemna liczba, której kwadrat jest równy $a$. Na przykład $\sqrt{25}=5$, bo $5^2=25$. Nie zapisujemy $\sqrt{25}=\pm 5$, bo symbol pierwiastka oznacza wartość główną, czyli nieujemną.

3.Pierwiastek stopnia nieparzystego

Dla nieparzystego stopnia pierwiastek istnieje także z liczb ujemnych. Na przykład $\sqrt[3]{-8}=-2$, bo $(-2)^3=-8$.

4.Związek pierwiastka z potęgą

Pierwiastkowanie jest działaniem odwrotnym do potęgowania: $\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}$ w sytuacjach dozwolonych w liczbach rzeczywistych. Dzięki temu można korzystać z praw działań na potęgach.

5.Iloczyn pod jednym pierwiastkiem

Dla liczb, dla których wyrażenia mają sens, zachodzi $\sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b}$. Przykład: $\sqrt{9\cdot 4}=\sqrt{9}\cdot\sqrt{4}=3\cdot 2=6$.

6.Iloraz pod jednym pierwiastkiem

Dla $b\ne 0$ i dozwolonych wartości zachodzi $\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$. Przykład: $\sqrt{\frac{49}{16}}=\frac{7}{4}$.

7.Pierwiastek z potęgi

Jeśli $n$ jest nieparzyste, to $\sqrt[n]{a^n}=a$. Gdy $n$ jest parzyste, to $\sqrt[n]{a^n}=|a|$. Na przykład $\sqrt{x^2}=|x|$, a nie po prostu $x$.

8.Wyłączanie czynnika przed pierwiastek

Jeśli pod pierwiastkiem występuje czynnik będący pełną $n$-tą potęgą, można go wyłączyć: $\sqrt[n]{a^n\cdot b}=a\sqrt[n]{b}$ dla odpowiednich warunków. Przykład: $\sqrt{72}=\sqrt{36\cdot 2}=6\sqrt{2}$.

9.Włączanie czynnika pod pierwiastek

Można też przenieść czynnik przed pierwiastkiem do środka: $a\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a^n b}$, gdy ma to sens w liczbach rzeczywistych. Przykład: $3\sqrt{2}=\sqrt{18}$.

10.Dodawanie pierwiastków podobnych

Dodawać i odejmować można tylko pierwiastki podobne, czyli mające ten sam stopień i ten sam czynnik pod pierwiastkiem po uproszczeniu. Na przykład $2\sqrt{3}+5\sqrt{3}=7\sqrt{3}$, ale $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ nie upraszcza się.