Trygonometria w trójkącie prostokątnym

1.Trójkąt prostokątny

Trójkąt, w którym jeden kąt ma miarę $90^\circ$. Bok leżący naprzeciw tego kąta to przeciwprostokątna, a dwa pozostałe boki to przyprostokątne.

2.Przeciwprostokątna

Najdłuższy bok trójkąta prostokątnego. Leży naprzeciw kąta prostego i występuje w mianowniku definicji sinusa i cosinusa.

3.Przyprostokątne

Dwa boki trójkąta prostokątnego, które tworzą kąt prosty. Dla danego kąta ostrego jedna z nich jest przyległa, a druga leży naprzeciw tego kąta.

4.Sinus kąta ostrego

Dla kąta ostrego $\alpha$ w trójkącie prostokątnym: $\sin\alpha=\frac{\text{przyprostokątna naprzeciw }\alpha}{\text{przeciwprostokątna}}$.

5.Cosinus kąta ostrego

Dla kąta ostrego $\alpha$: $\cos\alpha=\frac{\text{przyprostokątna przyległa do }\alpha}{\text{przeciwprostokątna}}$.

6.Tangens kąta ostrego

Dla kąta ostrego $\alpha$: $\tan\alpha=\frac{\text{przyprostokątna naprzeciw }\alpha}{\text{przyprostokątna przyległa do }\alpha}$. Nie zależy od przeciwprostokątnej.

7.Cotangens kąta ostrego

Dla kąta ostrego $\alpha$: $\operatorname{ctg}\alpha=\frac{\text{przyprostokątna przyległa do }\alpha}{\text{przyprostokątna naprzeciw }\alpha}$. Jest odwrotnością tangensa.

8.Twierdzenie Pitagorasa

Jeśli przyprostokątne mają długości $a$ i $b$, a przeciwprostokątna $c$, to zachodzi $a^2+b^2=c^2$. Pozwala obliczać brakujący bok.

9.Kąty dopełniające się

W trójkącie prostokątnym dwa kąty ostre sumują się do $90^\circ$. Jeśli $\alpha+\beta=90^\circ$, to $\sin\alpha=\cos\beta$ oraz $\tan\alpha=\operatorname{ctg}\beta$.

10.Wartości szczególne

Najczęściej używane: $\sin 30^\circ=\frac{1}{2}$, $\cos 30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\tan 30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{3}$; $\sin 45^\circ=\cos 45^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\tan 45^\circ=1$; $\sin 60^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\cos 60^\circ=\frac{1}{2}$, $\tan 60^\circ=\sqrt{3}$.

11.Skala nachylenia a tangens

Tangens kąta nachylenia informuje, jak szybko rośnie wysokość względem przesunięcia poziomego. W zadaniach praktycznych pomaga obliczać wysokości i odległości.

12.Rozwiązywanie trójkąta prostokątnego

Polega na wyznaczeniu wszystkich boków i kątów na podstawie części danych. Używa się funkcji trygonometrycznych, twierdzenia Pitagorasa i faktu, że kąty ostre sumują się do $90^\circ$.