Wielomiany i działania na wielomianach

1.Wielomian jednej zmiennej

Wyrażenie postaci $W(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_1x+a_0$, gdzie $n\in\mathbb{N}\cup\{0\}$, a współczynniki $a_i$ są liczbami rzeczywistymi i tylko skończenie wiele z nich jest różnych od zera.

2.Jednomian

Wyrażenie będące iloczynem liczby i potęgi zmiennej, np. $5x^3$ lub $-2x$. Jednomiany są składnikami wielomianu.

3.Współczynnik wielomianu

Liczba stojąca przy odpowiedniej potędze zmiennej, np. w $3x^2-5x+7$ współczynnikami są $3$, $-5$ i $7$.

4.Wyraz wolny

Składnik niezawierający zmiennej, czyli współczynnik przy $x^0$. W wielomianie $4x^3-2x+9$ wyrazem wolnym jest $9$.

5.Stopień wielomianu

Największa potęga zmiennej występująca przy niezerowym współczynniku. Np. wielomian $2x^4-x+1$ ma stopień $4$.

6.Wielomian zerowy

Wielomian, w którym wszystkie współczynniki są równe $0$. Nie ma on określonego stopnia w szkolnej praktyce często mówi się, że jego stopień nie istnieje.

7.Wyrazy podobne

Składniki mające tę samą część literową, np. $3x^2$ i $-5x^2$. Można je redukować przez dodanie lub odjęcie współczynników.

8.Porządkowanie wielomianu

Zapisywanie składników według malejących lub rosnących potęg zmiennej. Ułatwia to działania i odczytywanie stopnia oraz współczynników.

9.Suma wielomianów

Otrzymujemy ją przez dodanie współczynników przy wyrazach podobnych. Stopień sumy jest nie większy niż większy ze stopni dodawanych wielomianów.

10.Iloczyn wielomianów

Powstaje przez wymnożenie każdego składnika jednego wielomianu przez każdy składnik drugiego, a następnie redukcję wyrazów podobnych.

11.Dzielenie wielomianu

Polega na znalezieniu ilorazu i reszty tak, by $W(x)=D(x)\cdot Q(x)+R(x)$, gdzie stopień reszty jest mniejszy od stopnia dzielnika.

12.Pierwiastek wielomianu

Liczba $a$, dla której $W(a)=0$. Jest więc miejscem zerowym wielomianu.

13.Twierdzenie o reszcie

Reszta z dzielenia wielomianu $W(x)$ przez dwumian $x-a$ jest równa wartości $W(a)$.

14.Twierdzenie Bézouta

Liczba $a$ jest pierwiastkiem wielomianu wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian jest podzielny przez $x-a$.

15.Rozkład na czynniki

Przekształcenie wielomianu do postaci iloczynowej, np. przez wyłączenie wspólnego czynnika, grupowanie lub wykorzystanie pierwiastków.

16.Schemat Hornera

Sprawny sposób obliczania wartości wielomianu oraz dzielenia przez dwumian postaci $x-a$. Szczególnie przydatny przy szukaniu pierwiastków wymiernych.