Liczby zespolone i działania na nich

1.Liczba zespolona

Liczba postaci $z=a+bi$, gdzie $a,b\in\mathbb{R}$, a $i$ jest jednostką urojoną spełniającą warunek $i^2=-1$. Liczby zespolone rozszerzają zbiór liczb rzeczywistych i pozwalają rozwiązywać równania, które w $\mathbb{R}$ nie mają rozwiązań, np. $x^2+1=0$.

2.Jednostka urojona $i$

Symbol $i$ spełniający zależność $i^2=-1$. Dzięki temu kolejne potęgi $i$ powtarzają się cyklicznie: $i, -1, -i, 1$. To podstawa upraszczania wyrażeń z liczbami zespolonymi.

3.Postać algebraiczna

Zapis liczby zespolonej w formie $a+bi$, gdzie $a$ to część rzeczywista, a $b$ to współczynnik przy $i$, czyli część urojona. Jest to najczęściej używana postać przy wykonywaniu działań.

4.Część rzeczywista

Dla liczby $z=a+bi$ częścią rzeczywistą jest $a$. Oznaczamy ją przez $\operatorname{Re}(z)$. To składnik niezawierający $i$.

5.Część urojona

Dla liczby $z=a+bi$ częścią urojoną jest $b$. Oznaczamy ją przez $\operatorname{Im}(z)$. Uwaga: część urojona to liczba rzeczywista $b$, a nie całe $bi$.

6.Równość liczb zespolonych

Liczby $a+bi$ i $c+di$ są równe wtedy i tylko wtedy, gdy $a=c$ oraz $b=d$. Przy porównywaniu liczb zespolonych porównuje się osobno część rzeczywistą i urojoną.

7.Dodawanie i odejmowanie

Dodajemy lub odejmujemy osobno części rzeczywiste i osobno części urojone: $(a+bi)\pm(c+di)=(a\pm c)+(b\pm d)i$. Działanie przypomina porządkowanie wyrazów podobnych.

8.Mnożenie liczb zespolonych

Mnożymy jak nawiasy w algebraicznym iloczynie i korzystamy z zależności $i^2=-1$: $(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi^2=(ac-bd)+(ad+bc)i$.

9.Liczba sprzężona

Do liczby $z=a+bi$ liczbą sprzężoną jest $\overline{z}=a-bi$. Sprzężenie zmienia znak przy części urojonej. Jest szczególnie ważne przy dzieleniu i obliczaniu modułu.

10.Moduł liczby zespolonej

Dla $z=a+bi$ moduł to $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$. Geometrycznie oznacza odległość punktu odpowiadającego liczbie $z$ od początku układu współrzędnych na płaszczyźnie zespolonej.

11.Iloczyn liczby i sprzężenia

Dla $z=a+bi$ zachodzi $z\overline{z}=a^2+b^2=|z|^2$. Wynik jest zawsze liczbą rzeczywistą i nieujemną. Ta własność jest używana przy usuwaniu liczby zespolonej z mianownika.

12.Dzielenie liczb zespolonych

Aby obliczyć $\frac{a+bi}{c+di}$, mnożymy licznik i mianownik przez sprzężenie mianownika $c-di$. Wtedy mianownik staje się równy $c^2+d^2$, czyli liczbą rzeczywistą. Na końcu wynik zapisujemy w postaci $x+yi$.

13.Płaszczyzna zespolona

Liczbę $z=a+bi$ można przedstawić jako punkt $(a,b)$ na płaszczyźnie. Oś pozioma to oś rzeczywista, a pionowa to oś urojona. Dzięki temu łatwo interpretować moduł i sprzężenie.

14.Liczba rzeczywista jako zespolona

Każdą liczbę rzeczywistą $a$ można traktować jako liczbę zespoloną $a+0i$. Oznacza to, że zbiór liczb rzeczywistych zawiera się w zbiorze liczb zespolonych.