Rachunek zdań i podstawy logiki

1.Zdanie logiczne

Wypowiedź oznajmująca, której można jednoznacznie przypisać jedną z dwóch wartości logicznych: prawdę albo fałsz. Nie są zdaniami logicznymi pytania, rozkazy ani wypowiedzi niejednoznaczne.

2.Wartość logiczna

Jedna z dwóch możliwych ocen zdania logicznego: prawda lub fałsz. W rachunku zdań zwykle zapisuje się je jako $1$ i $0$ albo $P$ i $F$.

3.Negacja

Operacja logiczna zaprzeczająca zdaniu. Jeśli zdanie $p$ jest prawdziwe, to negacja $\lnot p$ jest fałszywa, a jeśli $p$ jest fałszywe, to $\lnot p$ jest prawdziwe.

4.Koniunkcja

Zdanie złożone typu „i”, zapisywane jako $p \land q$. Jest prawdziwe tylko wtedy, gdy oba zdania składowe są prawdziwe.

5.Alternatywa

Zdanie złożone typu „lub”, zapisywane jako $p \lor q$. W logice szkolnej jest fałszywe tylko wtedy, gdy oba zdania składowe są fałszywe.

6.Implikacja

Zdanie postaci „jeżeli $p$, to $q$”, zapisywane jako $p \Rightarrow q$. Jest fałszywe tylko wtedy, gdy poprzednik $p$ jest prawdziwy, a następnik $q$ fałszywy.

7.Równoważność

Zdanie postaci „$p$ wtedy i tylko wtedy, gdy $q$”, zapisywane jako $p \Leftrightarrow q$. Jest prawdziwe, gdy oba zdania mają tę samą wartość logiczną.

8.Poprzednik i następnik

W implikacji $p \Rightarrow q$ zdanie $p$ nazywa się poprzednikiem, a zdanie $q$ następnikiem. Kolejność ma znaczenie, bo zamiana może zmienić sens i wartość zdania złożonego.

9.Tabela prawdy

Zestawienie wszystkich możliwych wartości logicznych zdań prostych i odpowiadających im wartości zdania złożonego. Służy do sprawdzania własności wyrażeń logicznych.

10.Tautologia

Zdanie logiczne prawdziwe dla każdego doboru wartości logicznych zdań składowych. Przykładem jest $p \lor \lnot p$.

11.Sprzeczność

Zdanie logiczne fałszywe dla każdego doboru wartości logicznych zdań składowych. Przykładem jest $p \land \lnot p$.

12.Prawo podwójnego przeczenia

Prawo mówiące, że $\lnot(\lnot p)$ ma tę samą wartość logiczną co $p$. Podwójna negacja nie zmienia więc sensu logicznego zdania.

13.Prawa de Morgana

Zależności: $\lnot(p \land q) \Leftrightarrow \lnot p \lor \lnot q$ oraz $\lnot(p \lor q) \Leftrightarrow \lnot p \land \lnot q$. Pozwalają poprawnie negować zdania złożone.

14.Prawo wyłączonego środka

Prawo mówiące, że dla każdego zdania logicznego prawdziwe jest $p \lor \lnot p$. Zdanie albo jest prawdziwe, albo jego negacja jest prawdziwa.