Funkcja wykładnicza i jej własności

1.Funkcja wykładnicza

Funkcja postaci $f(x)=a^x$, gdzie $a>0$ oraz $a\neq 1$. Zmienna występuje w wykładniku, a podstawa jest dodatnia i różna od $1$.

2.Podstawa funkcji wykładniczej

Liczba $a$ we wzorze $f(x)=a^x$. To ona decyduje o tym, czy funkcja jest rosnąca, czy malejąca, oraz o kształcie wykresu.

3.Dziedzina funkcji wykładniczej

Dziedziną funkcji $f(x)=a^x$ jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych, czyli $\mathbb{R}$. Dla każdego $x\in\mathbb{R}$ wartość $a^x$ jest określona.

4.Zbiór wartości funkcji wykładniczej

Zbiorem wartości funkcji $f(x)=a^x$ jest przedział $(0,\infty)$. Funkcja wykładnicza przyjmuje tylko wartości dodatnie, nigdy $0$ ani liczb ujemnych.

5.Monotoniczność dla $a>1$

Jeśli $a>1$, to funkcja $f(x)=a^x$ jest rosnąca. Gdy argument $x$ rośnie, wartości funkcji także rosną.

6.Monotoniczność dla $0<a<1$

Jeśli $0<a<1$, to funkcja $f(x)=a^x$ jest malejąca. Gdy argument $x$ rośnie, wartości funkcji maleją.

7.Punkt wspólny wykresów

Każdy wykres funkcji wykładniczej $f(x)=a^x$ przechodzi przez punkt $(0,1)$, ponieważ $a^0=1$ dla każdej dopuszczalnej podstawy $a$.

8.Asymptota pozioma

Oś $OX$, czyli prosta $y=0$, jest asymptotą poziomą wykresu funkcji wykładniczej. Wykres zbliża się do niej, ale jej nie przecina.

9.Miejsce zerowe

Funkcja wykładnicza nie ma miejsc zerowych, ponieważ równanie $a^x=0$ nie ma rozwiązań dla $a>0$ i $a\neq 1$.

10.Wartość dla $x=1$

Dla funkcji $f(x)=a^x$ zachodzi $f(1)=a$. Dzięki temu z wykresu można często odczytać podstawę funkcji z punktu o argumencie $1$.

11.Przekształcenie $f(x)+q$

Dodanie liczby $q$ do wzoru, czyli $g(x)=a^x+q$, przesuwa wykres funkcji wykładniczej o $q$ jednostek w górę, gdy $q>0$, lub w dół, gdy $q<0$.

12.Przekształcenie $a^{x-p}$

Wzór $g(x)=a^{x-p}$ oznacza przesunięcie wykresu funkcji $a^x$ o $p$ jednostek w prawo. Gdy jest $a^{x+p}$, przesunięcie jest o $p$ w lewo.