Geometria analityczna: prosta i odległość punktów

1.Układ współrzędnych

Sposób opisu położenia punktów na płaszczyźnie za pomocą pary liczb $(x,y)$. Współrzędna $x$ określa położenie poziome, a $y$ pionowe.

2.Odległość punktów

Dla punktów $A=(x_1,y_1)$ i $B=(x_2,y_2)$ odległość wynosi $AB=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$. To wzór wynikający z twierdzenia Pitagorasa.

3.Środek odcinka

Środek odcinka o końcach $A=(x_1,y_1)$ i $B=(x_2,y_2)$ ma współrzędne $S=\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right)$.

4.Współczynnik kierunkowy

Liczba $a$ w równaniu prostej $y=ax+b$. Określa nachylenie prostej do osi $OX$. Im większe $|a|$, tym prosta jest bardziej stroma.

5.Wyraz wolny

Liczba $b$ w równaniu $y=ax+b$. Jest drugą współrzędną punktu przecięcia prostej z osią $OY$ - prosta przechodzi przez punkt $(0,b)$.

6.Postać kierunkowa prostej

Równanie prostej w postaci $y=ax+b$, gdzie $a$ to współczynnik kierunkowy, a $b$ wyraz wolny. Nie opisuje prostych pionowych.

7.Postać ogólna prostej

Równanie prostej ma postać $Ax+By+C=0$, gdzie $A$ i $B$ nie są jednocześnie równe $0$. Ta postać opisuje także proste pionowe.

8.Prosta pionowa

Ma równanie $x=c$, gdzie $c$ jest stałą. Nie ma postaci kierunkowej $y=ax+b$, bo jej współczynnik kierunkowy nie jest określony.

9.Prosta pozioma

Ma równanie $y=c$, gdzie $c$ jest stałą. Jej współczynnik kierunkowy wynosi $0$.

10.Równanie prostej przez dwa punkty

Jeśli prosta przechodzi przez $A=(x_1,y_1)$ i $B=(x_2,y_2)$, to najpierw liczymy $a=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ dla $x_1\neq x_2$, a potem podstawiamy do $y=ax+b$.

11.Równoległość prostych

Proste w postaci $y=a_1x+b_1$ i $y=a_2x+b_2$ są równoległe, gdy mają taki sam współczynnik kierunkowy: $a_1=a_2$. Przy różnych wyrazach wolnych nie mają punktów wspólnych, a przy równych się pokrywają.

12.Prostopadłość prostych

Dwie proste niepionowe są prostopadłe, gdy iloczyn ich współczynników kierunkowych spełnia warunek $a_1\cdot a_2=-1$. Prosta pionowa jest prostopadła do poziomej.