Funkcja kwadratowa: postać kanoniczna i iloczynowa

1.Funkcja kwadratowa

Funkcja kwadratowa ma postać ogólną $f(x)=ax^2+bx+c$, gdzie $a\neq 0$. Jej wykresem jest parabola. Współczynnik $a$ decyduje o kierunku ramion, a wartości $b$ i $c$ wpływają na położenie wykresu.

2.Postać kanoniczna

Postać kanoniczna funkcji kwadratowej to $f(x)=a(x-p)^2+q$, gdzie $a\neq 0$. Pozwala od razu odczytać wierzchołek paraboli: $W=(p,q)$.

3.Wierzchołek paraboli

Dla funkcji w postaci kanonicznej $f(x)=a(x-p)^2+q$ wierzchołek ma współrzędne $W=(p,q)$. Jest to punkt najmniejszej wartości funkcji, gdy $a>0$, albo największej, gdy $a<0$.

4.Oś symetrii paraboli

Oś symetrii paraboli to prosta pionowa przechodząca przez wierzchołek. Dla postaci kanonicznej ma równanie $x=p$, a dla funkcji z miejscami zerowymi $x_1$ i $x_2$ jest to $x=\frac{x_1+x_2}{2}$.

5.Postać iloczynowa

Postać iloczynowa funkcji kwadratowej to $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$, gdzie $a\neq 0$. W tej postaci łatwo odczytać miejsca zerowe: $x_1$ i $x_2$.

6.Miejsca zerowe

Miejsca zerowe to takie wartości $x$, dla których $f(x)=0$. W postaci iloczynowej $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$ są nimi liczby $x_1$ i $x_2$, bo wtedy jeden z czynników jest równy $0$.

7.Współczynnik $a$

Współczynnik $a$ decyduje o kierunku ramion paraboli. Gdy $a>0$, ramiona są skierowane w górę, a gdy $a<0$, w dół. Im większe $|a|$, tym parabola jest węższa.

8.Przejście do postaci kanonicznej

Aby przejść z postaci ogólnej do kanonicznej, stosuje się wyłączanie $a$ przed nawias i dopełnianie kwadratu. Dzięki temu otrzymuje się wzór $f(x)=a(x-p)^2+q$.

9.Przejście do postaci iloczynowej

Aby zapisać funkcję w postaci iloczynowej, trzeba znaleźć jej miejsca zerowe. Jeśli są dwa miejsca zerowe $x_1$ i $x_2$, to $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$.

10.Związek między postaciami

Postać kanoniczna najlepiej pokazuje wierzchołek i oś symetrii, a postać iloczynowa miejsca zerowe. To ta sama funkcja, tylko zapisana w innej formie, więc można między nimi przechodzić przez przekształcenia algebraiczne.